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積分(3)(大学)
ferienの回答
>(1)も同様に√{(1ーx)/(1+x)}=tと置換したのですが煩雑になってしまい >解けませんでした。 >(1)x√{(1ーx)/(1+x)} √{(1ーx)/(1+x)}=tとおくと、1-x=t^2(1+x)より、 x=(1-t^2)/(1+t^2) dx={-2t(1+t^2)-(1-t^2)・2t}/(1+t^2)^2 =-4t/(1+t^2)^2 ∫x√{(1ーx)/(1+x)}dx =∫{(1-t^2)/(1+t^2)}・t・{-4t/(1+t^2)^2}dt =4∫{(t^4-t^2)/(1+t^2)^3}dt =4∫{t^4/(1+t^2)^3}dt-4∫{t^2/(1+t^2)^3}dt =4∫{(t^4-1)/(1+t^2)^3}dt+4∫{1/(1+t^2)^3}dt -4∫{(1+t^2)/(1+t^2)^3}dt+4∫{1/(1+t^2)^3}dt =4∫{(t^2-1)/(1+t^2)^2}dt+8∫{1/(1+t^2)^3}dt -4∫{1/(1+t^2)^2}dt =4∫{(1+t^2)/(1+t^2)^2}dt-4∫{2/(1+t^2)^2}dt +8∫{1/(1+t^2)^3}dt-4∫{1/(1+t^2)^2}dt =4∫{1/(1+t^2)}dt-12∫{1/(1+t^2)^2}dt +8∫{1/(1+t^2)^3}dt ここまで整理できます。 以下の積分は、漸化式I1=∫{1/(1+t^2)}dt=tan^(-1)t ∫{1/(1+t^2)^2}dt=I2=(1/2)I1+(1/2){t/(1+t^2)} =(1/2)tan^(-1)t+(1/2){t/(1+t^2)} ∫{1/(1+t^2)^3}dt=I3=(3/4)I2+(1/4)|t/(1+t^2)^2} =(3/8)tan^(-1)t+(3/8){t/(1+t^2)}+(1/4){t/(1+t^2)^2} になっているので、(調べてみて下さい。)上の式に代入して整理すると、 積分=tan^(-1)t-{3t/(1+t^2)}+{2t/(1+t^2)^2} 後は、tをxに戻せばいいです。計算を確かめてみて下さい。
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