回転操作と伸縮操作２

質問

ある楕円があり、以下の操作は楕円の中心をずらさないように行うものとします。

１をα度反時計回りに回す
１'をβ度反時計回りに回す
２を　縦ｘ倍　横ｙ倍　に拡大
２'を　縦x'倍　横y'倍に拡大

３をγ度半時計回りに回す
４を　縦Ｘ倍　横Ｙ倍に拡大

として、
１→２→１'→２'
と楕円を操作していったときに、これと等価な
３→４
という操作を実現するためには、γ、Ｘ、Ｙはどう表せばいいですか？

回答No.3

liar_adan · ベストアンサー

一次変換では、
αの回転は
(+cosα -sinα)
(+sinα +cosα)
x方向をa倍、y方向をb倍にするのは
(a 0)
(0 b)
という行列になります。(カッコの縦並びで、行列だと読んでください)
だから１→２→１'→２'の変換は、

(c 0)(+cosβ -sinβ)(a 0)(+cosα -sinα)
(0 d)(+sinβ +cosβ)(0 b)(+sinα +cosα)

です。(書きやすさのため、「x倍、y倍」「x'倍、y'倍」をa～d倍で表している)

途中計算は略しますが、点(x, y)をこの行列で変換した場合、得られる(x' y')は、
x' = c(+a*cosαcosβ - b*sinαsinβ)x + c(-a*sinαcosβ - b*cosαsinβ)y
y' = d(+a*cosαsinβ + b*sinαcosβ)x + d(-a*sinαsinβ + b*cosαcosβ)y
となります。(自信はないので検算してください)

積和の公式を使って変形もできますが、そうしてもあまり整理できそうにありません。
また、この変換によって、一般楕円の方程式がどう変換できるかは、
私にはわかりません。(能力を超えています)

お礼

なるほど、ありがとうございます。
こういう場面でも線形代数が活躍するのですね＾＾；
復習しなおさなければ・・・
またよろしくお願いしますｍ(＿　＿)ｍ

回答No.2

liar_adan

残念ですが、一般的には「できない」です。
(否定してばっかりで悪いけど)

たとえば、もとの図形を円として、

１を 0度 反時計回りに回す(無変換)
１'を 45度 反時計回りに回す
２を 縦1倍 横10倍 に拡大
２'を 縦1倍 横1倍 に拡大(無変換)

とします。
１→２→１'→２'
とすると、斜め方向に伸びた楕円が得られます。

ここで３→４で同様の操作ができるか考えます。
まず３によっては、もとが円なので変化は起きません。
４でできるのは、縦か横に引き延ばすことなので、
斜め方向に引き延ばすことはできません。
変換2つだけでは希望する操作はできないということです。

では４→３ならどうかと言うと、
今度は斜めに伸びた楕円を円に変換することはできません。

この問題は1次変換そのものなので、
行列を使えば、１→２→１'→２'でも何でも、一回で可能なのですが…

お礼

ありがとうございます。
やはり簡単にはいかないんですね＾＾；
行列を使うとどうなるのでしょう・・
もしよければ教えてください。

回答No.1

hinebot

回転自体は、楕円の大きさに関係なく、回す方向もすべて反時計回りで同じなので、
γ＝α＋β
でいいと思います。

伸縮は縦横それぞれの方向に対しての積になる、つまり
Ｘ＝ｘｘ’、Ｙ＝ｙｙ’
ではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
＃２さんのご回答を拝見し、自分でもためしたところ変換はできないことがわかりました＾＾；
でもまたよろしくお願いします