フーリエ変換の定義について

質問

フーリエ変換・逆変換の定義

∫[－∞→∞]ｆ（ｘ)e^-iＡx dx

１/２π∫[－∞→∞]Ｆ（Ａ)e^iＡx dＡ

を最近学んだのですが
教科書によって１／√２πが係数としてついたものが
定義になっているものがあって混乱しています
変換・逆変換をセットにもとに戻ればいいという発想は理解できますが
この係数をつける意味が分かりません

説明足らずかもしれませんがご教授お願いします

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.2です。ちょっと修正して、

複素積分の時点で2πiで割ることはしています。
詳しくは複素関数論を勉強してください。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

フーリエ逆変換は、複素変数を実変数(複素変数でもいいのですが)に戻すために、複素積分を行います。

その上で、積分範囲内の孤立特異点1つに対して2πiという積分値が得られます。
通常は、フーリエ変換の際に係数を考慮しなければ、逆変換で出てくる2πiの2π部分を補正するためにかけられていたと認識しています。

ラプラス逆変換の方が複素積分の定義に従っていてわかりやすいです。
ラプラス変換の積分範囲は0～∞、フーリエ変換は-∞～∞という違いがあり、さらにeの係数にiを丸め込んでるかかけているのに違いしかありません。(式自体の意味合いは結構違いますが)

対応させて考えたほうがわかりやすいです。

回答No.1

Tacosan

係数がないと「行って帰ると 2π倍」です. でこれだと「完全に元には戻っていない」ので, 完全に元に戻すためにはどこかで補正しなきゃならない.

でも, 「帰りに全責任を負わせる」必要性はないよね. 特にフーリエ逆変換は (指数の i の符号を除いて) フーリエ変換と全く同一だから, 「行きと帰りに平等に責任を持たせる」のだって, ある意味合理的でしょ?