△ABCの辺上の点を結んで出来る三角形の面積の最大

質問

三角形ABC 内に１点 P をとり，AP,BP,CP と辺BC,CA,AB との交点をそれぞれ D,E.F とする．
BC=a,CA=b,AB=cとする。
AE=bx (0＜x<1), AF=cy (0＜y＜1) とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) BD,CD の長さを求めよ．
(答)BD=ax(1-y)/{x(1-y)+y(1-x)} , CD=ay(1-x)/{x(1-y)+y(1-x)}
(2) △DEF の面積 K を求めよ．ただし，△ABC の面積を S とする．
(答)K=2Sxy(1-x)(1-y)/{x(1-y)+y(1-x)}
(3) K の最大値を与える x,y の値を求めよ．また，このとき点P はどんな点か．
(答)K≦S/4, x=y=1/2　(等号は点Pが△ABCの重心のとき)

この問題の(1)(2)は地道な計算と思いますが、(3)はどうやればいいのでしょうか？

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

K=2Sxy(1-x)(1-y)/{x(1-y)+y(1-x)}　の最大値を求めるには、
{x(1-y)+y(1-x)}/{2xy(1-x)(1-y)}　の最小値を求めればいい。

{x(1-y)+y(1-x)}/{2xy(1-x)(1-y)}＝{1/{y(1-x)}+1/{x(1-y)}}/2
として相加相乗平均の関係と、xy(1-x)(1-y)の最大値を調べれば、
{x(1-y)+y(1-x)}/{2xy(1-x)(1-y)}≧4
を導き出すことができる。

お礼

ありがとうございます。
相加相乗平均の関係を2回使うことで示すことが出来ました。
相加相乗平均の関係は通常は1回使って定数と比較するので、2回使うことは驚きでした。