三角形の角度、面積、長さ。

質問

（問題）
正三角形の内部に１点Ｐをとる。Ｐの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢに関する対称点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとする。
ＰＤ＝2x、ＰＥ＝2y、ＰＦ＝2zとするとき、
(1)ＤＰＥの角度は？
答え　１２０度
(2)三角形ＤＥＦの面積をxyzで表わす。
答え　√3(xy+yz+zx)
(3)三角形ＡＢＣの一辺の長さをaとし、x+y+zをaで表わす。
答え　√3/2 a　←　aは分数の真ん中の線の右側にあります。

sin、cos、tanを使えば正解が導かれるような気がするのですが・・・。あと正三角形というところもたぶんポイントのような気がします。また、点Ｐとは三角形の内部のどの位置になるのでしょうか？質問ばかりで申し訳ないです。

回答No.2

debut · ベストアンサー

PD,PE,PFが△ABCの辺と交わる点をそれぞれG,H,Iとします。
（対称点なので、PD,PE,PFは△ABCの辺とは垂直）
（１）四角形PGCHで∠Cは60°なので・・・

（２）例えば△PDEの面積は
　　　　公式、1/2×(2つの辺の長さの積)×sin(2つの辺の挟む角の角度)
　　　より、(1/2)×PD×PE×sin120°。
　　　△PEF、△PDFも同様にして求め、３つの合計で△DEF。

（３）１辺ａの正三角形の面積　・・（ア）
　　　△PBCを底辺BC(=a)、高さPG(=x)として
　　　△PCAを底辺AC(=a)、高さPH(=y)として
　　　△PABを底辺AB(=a)、高さPI(=z)として、３つを合計・・（イ）
　　　（ア）＝（イ）より・・・・

補足

こんばんは。
お返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。
(3)について、解らないところがありますので、教えて下さい。
高さがそれぞれ、ＰＧ＝x、ＰＨ＝y、ＰＩ＝zになるのは何故ですか？
※自分で△を描いてみたのですが、ＰＧ＝ＰＤ、・・・と見え、ＰＤ＝2x、ＰＥ＝2y、ＰＦ＝2zなので、2x、2y、2zを使うのでは？と考えました。

回答No.5

debut

（３）の問題は、はじめてだとすれば難しいかもしれません。問題の慣れ
というか、勘というか、そんなものが関係するのかなあと思います。
問題が何を意図するのかを読み解き、そこから論理を展開していく。それ
は難しいし、それだけに論理がつながったときの喜びも大きいんじゃない
でしょうか。

　この問題では、
　　・ｘが関係するのは△ＰＢＣの面積が(ａｘ)/２で表せること？
　　・んん？同じように、ｙも△ＰＣＡの面積に(ａｙ)/２で、ｚも△ＰＡＢ
　　　の面積に(ａｚ)/２で出てくるぞ
　　・△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＋△ＰＡＢは正三角形全体の面積だから、この
　　　計算でｘ＋ｙ＋ｚらしきものがあるようだ
　　・そういえば、正三角形全体の面積はａの式で表せるぞ
　　・おお！これら２つを＝で結べば、ｘ＋ｙ＋ｚ＝・・・の式に変形で
　　　きるじゃん。やったね！
　という論理の流れがあったわけです。

お礼

『数学的勘』ですね。
確かに数学は解けたら面白いですけど、自分１人で解くと、まだなかなかその域には達せそうになく・・・。いつの日になることやら？
１問考えるのに３０分は軽～くかかりますからね(>_<)
（こんなに考えるのに当たってない事の方がまだ多いですから、ホント嫌になります。）
この数学部門の方は、一般の方の回答が多く寄せられていますが、日常数学を解いている方々って、ライフワークなのでしょうか。趣味で数学を解いているのでしょうか。普通にクイズを解くような感覚なんでしょうね。たぶん。こちらのサイトに通うようになって、数学好きな人がこんなにいるなんて驚きました!(^^)!
debutさんを始め、皆様に教えていただき、とても感謝しております。教えていただいた皆様にポイントを差し上げたいのですが、そうできないのがいつも残念です。

回答No.4

debut

＞△ＡＢＣ面積ですが、・・・
　　高さは、30゜、60゜、90゜の直角三角形の辺の比１：２：√３から
　　求めます。

　　正三角形を頂点Ａから下ろした垂線（高さの線）で２つに分けたとき、
　　左側の直角三角形を見ると、斜辺がａとなっていますね。
　　これは上記の三角形の比で２の部分になります。
　　また、高さをＡＭ（点Ｇとは違う位置にあるのでＭとします）とする
　　とこれは上記の三角形の比で√３の部分になります。

　　したがって、　ａ：ＡＭ＝２：√３　となり、
　　［比（ａ：ｂ＝ｃ：ｄ）ではｂ×ｃ＝ａ×ｄが成り立つので］
　　　　　　　　　　　２×ＡＭ＝(√３)×ａ
　　　　　　　　　　　　ＡＭ＝(√３/２)ａ
　　と求められます。

　わからないことはどんどん聞いた方がいいです。

補足

はい！お言葉に甘えて、どんどん聞いてまいりますので宜しくお願い致します（笑）。

△ＡＢＣの高さはＡＧとは置かないのですね。
（点Ｍですか？確かに言われてみれば、ＰＤが△ＡＢＣと交わる交点がＧですから、必ずしも頂点Ａから垂直に降ろした点ではないわけですよね。）
［比（ａ：ｂ＝ｃ：ｄ）ではｂ×ｃ＝ａ×ｄが成り立つので］←この比、忘れてました(^_^;)こういうの確かにありました・・・。

今回の問題は３問ありましたが、(1)→角度、(2)→面積と何を求めればいいのか、はっきりしていましたが、(3)は問題を読んでも、“何を求めればいいのか？”からよく分かりませんでした。結局「△ＡＢＣの面積をaとx+y+zであらわせ」と言いたかったんですね。でも、もしこう問題が書いてあっても、どう手をつけてよいか分からなかったと思います。

数学って、難しいです・・・。

回答No.3

debut

こんばんは。
＞ＰＧ＝x、ＰＨ＝y、ＰＩ＝zになるのは何故ですか？
＞自分で△を描いてみたのですが、ＰＧ＝ＰＤ、・・・と見え、
　　ここに図がかければ一発なのに、すごくもどかしいです。
　　例えば、点Ｐと点Ｄは線分ＢＣについて対称になっていますよね。
　　　　Ｐ・
　　Ｂ―――――Ｃ
　　　　Ｄ・
　　のようにです。そして、このＰとＤを結んだ線とＢＣとの交点をＧと
　　したわけですから、ＰＧ＝ＤＧ、つまり、ＰＧはＰＤの半分の長さに
　　なっているはずです。だから、ＰＧ＝ｘとなるわけです。
　　他も同様です。

　　全体の図は次のようになっているでしょうか？
　　　　　　　　　　　Ａ・
　　　　　　　　　　　／　＼
　　　　　　　・Ｆ　／　　　　＼　・Ｅ
　　　　　　　　／　　Ｐ・　　　　＼
　　　　　　　／　　　　　　　　　　＼
　　　　　Ｂ―――――――――Ｃ

　　　　　　　　　　　Ｄ・

補足

あ～、こうなるんですか？△ＡＢＣは。debutさん、三角形の図、上手ですね♪
私の図は、線ＢＣの上にＤ点をとって描いていました。対称点だから、2xの半分ということで、ＰＧ＝ｘなのですね。解りました！
あの・・・、もうひとつ伺いたいのですがよろしいですか？
△ＡＢＣ面積ですが、高さＡＧはどのようにして求めるのでしょうか？三角形の三角比で左側角度６０度の図を見ているのですが、高さ√3がどのように変形しているのですか？すみません。初歩的な質問で(^_^;)。
「聞かぬは一生の恥！」と思い、思い切って聞きます！宜しくお願い致します。

回答No.1

aqfe

(1)ＰＤとＢＣの交点をＧ、ＰＥとＣＡの交点をＨとすれば、
四角形ＰＧＣＨのうち、他の三つの角の角度が分かっているので360°から引きます。

ついでにいうと、同様に∠ＤＰＦ＝∠ＥＰＦ＝120°

(2)△ＤＥＦ＝△ＰＤＥ＋△ＰＥＦ＋△ＰＦＤ
２辺とその挟む角が分かっているので、
あとは(1/2)*PE*PD*cos(120°)とかを使えば求まります。

(3)△ＡＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ
△ＡＢＣは底辺a、高さ(√3)a / 2の三角形。
△ＰＢＣは底辺a、高さxの三角形などなど。
これでx+y+zが求まるはずです。

あと。。。
＞点Ｐとは三角形の内部のどの位置になるのでしょうか？

三角形の内部ならどの位置でも有り得ますよ。
確かにx+y+zなどの値は決まってはいますが、xの値など個別に求まることはありません。

補足

こんばんは。
お返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。
(3)について、解らない点がありますので、教えて下さい。

(1)と(2)は解りました。
※(2)の三角形の面積を求める式は
cos(120)ではなく、sin(120)ですよね？
sin(120)で計算しました。

(3)なのですが、
・△ＡＢＣの高さ、（√3）a/2 は、どのようにして計算されたのですか？
・△ＰＢＣの高さはxとなっておりますが、これはどうしてxなのですか？
自分で三角形を描いて確認してみました。ＰＤ＝2xなので、2xで計算するのでは・・・？と考えました。