kは定数で、点Pは△ABCと同じ・・・

質問

kは定数で、点Pは△ABCと同じ平面上にあって
3→PA + 4→PB + 5→PC = k→BC
を満たしている。

(1)点Pが辺AB上にあるとき、kの値を求めると、k=□である。

(2)点Pが△ABCの内部にあるためのkの条件は、□＜k＜□ である。

よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ベクトル記号省略します。
(1)3ＰＡ+4ＰＢ+5ＰＣ＝ｋＢＣ
　　始点をＡにそろえます。
　3（-ＡＰ）+4（ＡＢ-ＡＰ）+5（ＡＣ-ＡＰ）＝ｋ（ＡＣ－ＡＢ）
　ＡＰ＝（4+ｋ）/12ＡＢ+（5-ｋ）/12ＡＣ

　点Ｐが辺ＡＢ上にあるとき、ＡＣの前の係数が0でなければならないから，
　5-ｋ＝0　
　よって、ｋ＝5

(2)点Ｐが三角形の内部にある条件は（周上を含む）、
　（4+ｋ）/12≧0かつ（5-ｋ）/12≧0かつ（4+ｋ）/12+（5-ｋ）/12≦1　である。
　これらを解いて共通部分をとると、
　-4≦ｋ≦5

補足：ＡＰ＝ｓＡＢ+ｔＡＣにおいて
　　i　ｓ+ｔ＝1のときは点Ｐは直線ＢＣ上にある。
　　ii　ｓ+ｔ＝1、ｓ≧0、ｔ≧0のとき点Ｐは線分ＢＣ上にある。
　　iii　ｓ+ｔ≦1のとき、点Ｐは直線ＢＣと点Ａを含む平面上にある。
　　IV　ｓ+ｔ≦1、ｓ≧0、ｔ≧0のとき点Ｐは△ＡＢＣの内部にある（周上含む）。

(2)はIVを使いました。
点Ｐの存在範囲の問題は結構入試では出題されます。確認しておきましょう。