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数学、ベクトルの質問です。

数学、ベクトルの質問です。 平面上に点Pと、△ABCがある。 → → → → 2PA ・ PB = 3PB ・ PC を満たす点Pの軌跡を求めよ。 ヒントによると、この条件を → → → PA ・ ( □PA+○PC ) = 0 に変形すると、解けるようになるらしいのですが…(□、○には、それぞれ係数が入ります)。 どなたかご教授のほど、よろしくお願いします!

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noname#108210
noname#108210
回答No.2

位置ベクトルにすべて書き直して考えるとわかりやすくなります。 位置ベクトルで表すと,(矢印は省略します) 2(a-p)・(b-p)=3(b-p)・(c-p) (b-p)・{2(a-p)-3(c-p)}=0 (b-p)・(2a-3c+p)=0 (p-b)・{p-(3c-2a)}=0 ここで,q=3c-2a とおくと q=(3c-2a)/(3-2) だから,点QはACを3:2に外分する点の位置ベクトルです。 そして,内積が0だから,(p-b)⊥(p-q) で,点PはBQを直径とする円周上の点となる。 逆も成立するので,求める点Pの軌跡は,BQを直径とする円。

mori_2204
質問者

お礼

ありがとうございます! とても分かりやすかったです! しかし、どうしたらこうした解答が自然に思いつくものなのか…。

その他の回答 (1)

noname#137826
noname#137826
回答No.1

条件式を変形すると PB・(2PA-3PC) = 0 になりますね。ヒントは書き写し間違いではありませんか? この先は以下のようにすると解けます。 (計算過程は自分で追ってみてください。) 原点をOとして、 OD = 3OC - 2OA を満たすような点Dを考えると、条件式は PB・PD = 0 となります。 したがって、点Pの軌跡はBDを直径とする円になります。

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