Rの軌跡

質問

大きさが30゜の∠XOYの内部(OX、OYを含む)に1辺の長さが1の正三角形PQRがある さらにPはOX上を、QはOY上を動きRはPQに関してOと同じ側にあるとする このとき点Rの軌跡を求めよ

Rを中心としP、Qを通る円を書くと、∠PRQが正三角形より60゜、∠POQが問題文より30゜で2×∠POQ=∠PRQ(中心角)が成り立つから円周角の定理の逆よりOは円周上
ORもQRもPRも半径だからOR=QR=PR=1
ここまではわかりました
問題はここからで、答えはRO=RQ=1だからRの軌跡はOを中心とした∠XOYの内部の円弧となるとしてるのですが何故軌跡が分かるのでしょうか？軌跡といえば何か分からない点の座標を(x,y)と置いて方程式を導くものだと思っていたのでわかりません 教えてください

回答No.1

h_m_kiohsi · ベストアンサー

まずOR=1，RはOXとOYの内側というのが条件なので
Rは円O(半径1)の円弧上(∠XOYの内部)を動かなくてはなりません
これが必要条件
あとは，この時きちんと正三角形PQRが出来ていることを証明出来れば十分条件を満たしたことになり，Rの軌跡はOを中心とした∠XOYの内部の円弧となります．
さて，正三角形PQRですが，Rを中心とした半径1の円がO以外にOX，OYと交点を持った時，その交点をP，Qとすれば
RP=RQ=1，∠PRQ=60°(∵Oも円R上にあるので円周角の定理から∠PRQ=2*∠XOY)
となり，正三角形PQRが出来ていることが示せました
これからRの軌跡はOを中心とした∠XOYの内部の円弧となります．

イメージとしてはこんな感じだと思います．
こんな議論を論じなくてはいけないかは，わかりませんが・・・(自明，といって言い気もします・・・)

補足

必要条件と十分条件って
pならばqが十分条件でqならばpが必要条件と聞きましたがどこに～ならば～があるのでしょうか？

回答No.2

h_m_kiohsi

一応必要条件，十分条件について述べます

必要条件は
問題文を満たすRが存在するならばそのRは円O(半径1)の円弧上(∠XOYの内部)にある
ので
「Rは円O(半径1)の円弧上(∠XOYの内部)にある」は「問題文を満たすRが存在する」の必要条件
です
十分条件は
Rが円O(半径1)の円弧上(∠XOYの内部)にあるならばそのRは問題文を満たす
ので
「Rは円O(半径1)の円弧上(∠XOYの内部)にある」は「問題文を満たすRが存在する」の十分条件
です

ですが，悩んでいるのはこの部分ではないですね．．．
まず軌跡とは条件を満たす点の集合です
なので別に(x,y)と置かなくても，
きちんと線上の点が条件を満たしていればその線を軌跡と言う事が出来ます
求め方としては条件を満たす点を考えればいいです，その集合が軌跡になります．

・RO=1となる点はOを中心とした半径1の円の周上です．点Rはこの円の周上にあります．
・∠XOYの内部に正三角形PQRがある，とあるので点Rは∠XOYの内部にあります．

この2つの条件を同時に満たさなくてはいけないので
点RはOを中心とした半径1の円の周上の∠XOYの内部の点ということになります．
この点Rの集合を考えると，
Rの軌跡はOを中心とした半径1の∠XOYの内部の円弧上となります．

お礼

よく理解しました
詳しくありがとうございました