軌跡の問題

質問

円周角の定理を使う軌跡の問題です。∠XOYについては三角定規をイメージしてください。

大きさ30度の∠XOYの内部(OX,OYを含む)に長さ1の正三角形PQRがある。さらに、PはOX上、QはOY上を動きRはPQに関してOと同じ側にある。このときRの軌跡を求めよ。

円周角の定理を使うところまでは分かるのですが、軌跡がOを中心とする半径1の円になり理由が分かりません。解答には当たり前のように書いてありますが、どうか宜しくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

△ＰＱＲは正三角形なので、∠ＰＲＱ＝60°です。
　ここで、∠ＸＯＹ＝30°＝(1/2)∠ＰＱＲ　ですので、点Ｏは点Ｒを中心とする半径１（＝ＲＰ＝ＲＱ）の円周上にあることになります。
　このことを点Ｏを固定して考えますと、上記のことから常にＯＲ＝１ですから、点Ｒは点Ｏを中心とする円弧を軌跡として描くことになります。
　なお、点Ｒは△ＰＯＱの内部に限定されますので、円周を描くことにはならず、内角30°の円弧になると思います。

お礼

わかりました。ありがとうございました。あと内部でした。

回答No.3

kabaokaba

No.1です
境界条件を忘れてました（苦笑）
内部に限定なんですね．
となると，No.2さんの通り円弧です．
＃ついでにいうと，固定されている
＃最初のXOYまで動かしてしまった(^^;;

RがOを中心とする半径1，中心角30度の円弧に乗っていることを示し，
逆に，その円弧にあれば必ず逆に正三角形を構成できることを示すのです．

回答No.1

kabaokaba

円周角の定理を使うまで分かれば
もう答えだと思うのだが・・・

三点O，P，Qを通る円Cを書く．
円周角の定理，および問題の過程より
Rは円Cの中心である．
したがって，OR=1である．
したがって，RはOを中心とする半径1の円周上に存在する．

逆に，Oを中心とする半径1の円周上の任意の点R'をとる．
このとき，R'を中心とする半径1の円を作ると
この円周上にはOがあり，
またこの円の長さ1の弦PQをとることで
三角形PQR'は正三角形となり，
これは問題の条件を満たす．

よって，求める軌跡は「Oを中心とする半径1の円」