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a枚のカードから1枚をひっくり返す作業をn回繰り返
alice_44の回答
- alice_44
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A No.2 に一票。(ただの、後追い回答です。) a 枚のカードの数を 1 ~ a に限定せず、 x_1 ~ x_a の a 個の変数としてみる。 x_i のカードが k_i 回ひっくり返されると、 カードの数の和は Σ[i=1~a] x_i (-1)^k_i になる。 カードを n 回ひっくり返す操作 a^n 通りのうち、 そうなる場合の数は n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) 通り だから、問題の期待値 E は、 E = Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )/(a^n) Σ[i=1~a] x_a (-1)^k_i = { Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i } (a^-n) { Σ[i=1~a] x_a } と整理できる。ここで Σ[*] は、n の分割 k_1 + k_2 + … + k_a = n, k_i≧0 に関する総和を表す。 この式の Σ を計算するのは面倒くさいが、 x_i = 0 (i<a), x_a = 1 の場合を考えると x_a が k 回ひっくり返る確率は (nCk)/(a^n) だから、 E = Σ[k=0~n] { (nCk)/(a^n) } (-1)^k = { Σ[k=0~n] (nCk)(-1)^k } (a^-n) = (1 - 1)^n (a^-n) ← 二項定理 = 0 となる。よって、 Σ[*] ( n!/(k_1 ! k_2 ! … k_a !) )(-1)^k_i = 0 であることが判り、任意の x_1 ~ x_a に対して E = 0。 もちろん、1 ~ a のカードでも。 ←A No.1 1 回の操作でひっくり返すカードは 1 枚だから、 各カードを独立に扱うことはできない。
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