a枚のカードから1枚をひっくり返す作業をn回繰り返

質問

a枚のカードがあり、それぞれの表面には1、2、3、…、aの数字が書かれています。
裏面には、表面のマイナスの数字が書かれています。
今、すべてのカードは表が上になっています。

a枚のカードの中から自由に1枚を選び、ひっくり返します。
さらに、a枚のカードの中から自由に1枚を選び、ひっくり返します。
同じカードであっても、別のカードであってもかまいません。
このひっくり返すという作業をn回繰り返したとき、a枚のカードの上の数字の合計の期待値はどのようになるのでしょうか？

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

「自由に1枚を選び」という表現がちょっと気になるけど、どのカードも同じ確率で選ばれるものとします。

１枚のカードだけに注目すれば、
1回の操作で、反転する確率は1/a、反転しない確率は(a-1)/aなので、
n回の操作で、k回反転する確率P(k)は、
P(k)=nCk*(1/a)^k*((a-1)/a)^(n-k)

よって、mの数字が書かれたカードの上の数字の期待値は、
m{P(0)-P(1)+P(2)-P(3)+・・・・+(-1)^n*P(n)}
=mΣ[k=0・・・n](-1)^k*nCk*(1/a)^k*((a-1)/a)^(n-k)
=mΣ[k=0・・・n]nCk*(-1/a)^k*((a-1)/a)^(n-k)
=m(-1/a+(a-1)/a)^n
=m(1-2/a)^n

すべてのカードの上の数字の合計の期待値は、
Σ[m=1・・・a]m(1-2/a)^n
=a(a+1)(1-2/a)^n/2