ポリアの壷

質問

最初、袋の中に1個の白玉と1個の赤玉が入っている 袋の中から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を2個袋の中に入れる試行を繰り返す この試行を1回行う度に袋の中の玉の数は1個増加する
(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ

n＝2としたとき、白を最初に引く1/2×1/3と赤を最初に引く1/2×1/3を足し、白を最初と後に引く2Ｃ1通りをかけても答えが違います
なぜでしょうか？

回答No.22

stomachman

ANo.14へのコメントについてです。

>「白1個赤n+1個になるには、白1個赤n個の状態で赤を引く以外にないから、

>　　p[n] = p[n-1] n / (n+1)　
>白2個赤n個になるには、白1個赤n個の状態で白を引くか、白2個赤n-1個の状態で赤
>を引くか、そのどちらかしかないから、

>　　q[n] = p[n-1] / (n+1) + q[n-1] (n-1) / (n+1)
>という漸化式が得られる。」 

>この2つの式がなぜ出てくるのですか？ よければ教えてください

　　p[n]=(n回目の試行が終わった直後に白1個赤n個の状態である確率）
　　=(「白1個赤n個という状態の時に、赤を引く確率」という条件付き確率）×
　　　 (n回目の試行の直前(つまりn-1回目の試行が終わった直後)に白1個赤n個の状態である確率）
　　= ( n / (n+1)) × p[n-1]

　q[n]については、n回目の試行の直前(つまりn-1回目の試行が終わった直後)を考えますと、白1個赤n個の状態になるということと、白2個赤n-1個の状態になるということとは両立しません。（互いに排他事象である、と言います。）なので、それぞれの場合の確率の足し算をすれば良い。

　　q[n] =(n回目の試行が終わった直後に白2個赤n-1個の状態である確率）
　　=　(「白1個赤n個という状態の時に、白を引く確率」という条件付き確率）×
　　　 (n回目の試行の直前(つまりn-1回目の試行が終わった直後)に白1個赤n個の状態である確率）
　　　+
　　　(「白2個赤n-1個という状態の時に、赤を引く確率」という条件付き確率）×
　　　　 (n回目の試行の直前(つまりn-1回目の試行が終わった直後)に白2個赤n-1個の状態である確率）
　　= (1 / (n+1)) × p[n-1] + ((n-1) / (n+1))×q[n-1]

お礼

解説ありがとうございました

回答No.21

staratras

No.13&17 です。１３へのお問い合わせにお答えします。
Q1:n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっていてかつn回目の試行では赤を引いた確率が(Pn-1)×((n-1)/(n+1))だとわかるのはなぜですか？

n回目の試行後に白玉が2個の状態になっている確率をPnと決めました。当然n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっている確率はPn-1です。【念のためですがPn-1のn-1は添え字（小さい字）のn-1で、(Pn)-1ではありません。】

このとき袋の中には赤玉がn-1個、白玉が2個の合計n+1個ありますので、この後のn回目の試行で赤を引く確率は(n-1)/(n+1)です。

したがって「n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっていてかつn回目の試行では赤を引く確率」はこの積であるPn-1×((n-1)/(n+1))です。

Q2:n(n+1)Pn =n(n-1)Pn-1+1　以下同様にn(n-1)Pn-1 =(n-1)(n-2)Pn-2+1、 (n-1)(n-2)Pn-2=(n-2)(n-3)Pn-3+1… 中略…3・2・P2 = 2・1・P1+1　というのはなにをしてるんですか？

n(n+1)Pn =n(n-1)Pn-1+1　という漸化式が得られましたが、最終的に求めたいのはPn=なんとか　という式です。これを求めるためには右辺のPn-1がじゃまです。これを消すために、漸化式のnをn-1、n-2、n-3…に置き換えた式を作り 、
縦に並べて右辺ごと、左辺ごとの合計を求めます。（左辺合計=右辺合計を計算する）すると下の「」をつけた部分は右辺と左辺の両方にそれぞれひとつずつありますので、まとめて一気に消去することができます。

　　　　　n(n+1)Pn=「n(n-1)Pn-1」+1　以下同様に
　　　「n(n-1)Pn-1」=「(n-1)(n-2)Pn-2」+1
　 「(n-1)(n-2)Pn-2」=「(n-2)(n-3)Pn-3」+1
　　　　　 　　　中略
＋ ） 　　 「3・2・P2」= 2・1・P1+1
　-----------------------------------------

残ったのは左辺はn(n+1)Pnだけ、右辺は1がn-1個と2・1・P1だけですので
n(n+1)Pn＝n-1+2・1・P1となり、これからPn=1/n+1　という式にできます。

これはもちろんPn=((n-1)/(n+1))Pn-1 + 1/n(n+1) に
　　　　　　　Pn-1=(n(n-2))Pn-2 + 1/n(n-1)
　 　　 Pn-2=((n-1)(n-3)Pn-3 + 1/(n-1)(n-2)
　 　　 Pn-3＝…を次々に代入していく方法でも最終的には同じ結果が得られますが、上の並べて足して一気に消去する方法のほうがわかりやすく、ミスも少ないと思います。

お礼

よく分かりました 回答ありがとうございました

回答No.20

yyssaa

「[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)」って[1/{n*(n+1)}]*1になりませんか？なぜnになったのでしょうか？
＞(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)は1をn回足しているから=nです。
従って
[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)
=[1/{n*(n+1)}]*n=1/(n+1)になります。

お礼

なるほど 分かりました
ありがとうございました

回答No.19

B-juggler

ちょっと横からゴメンよ～。ご無沙汰＾＾；

そうか、漸化式を立てれば早かったね～。

で、σ(・・*)にベストアンサーはつけない様にね。

～～
=[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)」の
「[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)」って
[1/{n*(n+1)}]*1になりませんか？なぜnになったのでしょうか？
～～～

ここだけ。

（１／１）＋（２／２）＋・・・・・＋（ｎ／ｎ）＝１　かな？

（ａ／ａ）　ａ≠０ね　　が　ｎ　個あるんじゃないかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

冷静に考えてみてね。ゆっくりと落ち着いて。

数学は、慎重かつ大胆に！　アタックチャンス！　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ

お礼

掛け算と混同してました すみません
回答ありがとうございました

回答No.18

yyssaa

Σとはなんでしょうか？
＞簡単に云うと、足し算の記号です。
∑(r=1→n)[r]はrを1からnまで足すこと、
すなわち∑(r=1→n)[r]=1+2+3+・・・・・+(n-1)+n
ということです。
この問題では
(ア)1回目に白玉を取り出し、2回目からn回目まで赤玉を
　　取り出し続ける確率
(イ)1回目から(n-1)回目まで赤玉を取り出し続けて
　　最後のn回目に白玉を取り出す確率
(ウ)1回目からn回目までのどこかで1回白玉を取り出し、
　　残りの(n-1)回は赤玉を取り出す確率
は全て等しく1/n(n+1)になっています。
従って、求める確率は1/n(n+1)を1回目からn回目まで
足す必要があるので、
∑(r=1→n)[1/{n*(n+1)}]=n/{n*(n+1)}=1/(n+1)
となります。
Σの中にrが無くて分かり難ければ、
∑(r=1→n)[1/{n*(n+1)}]=∑(r=1→n)[1/{n*(n+1)}]*(r/r)
=[1/{n*(n+1)}]*∑(r=1→n)(r/r)
=[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)
=[1/{n*(n+1)}]*n=1/(n+1)
とすれば理解し易いと思います。

補足

Σの意味は分かりました
「∑(r=1→n)[1/{n*(n+1)}]=∑(r=1→n)[1/{n*(n+1)}]*(r/r)
=[1/{n*(n+1)}]*∑(r=1→n)(r/r)
=[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)」の
「[1/{n*(n+1)}]*(1/1+2/2+3/3+・・・・+n/n)」って[1/{n*(n+1)}]*1になりませんか？なぜnになったのでしょうか？

回答No.17

staratras

No.13です。この問題はグラフを使って考えるとわかりやすいと思います。

添付した図は、ｘ軸に赤玉の個数、ｙ軸に白玉の個数を示したものです。
最初の状態はそれぞれ１個ずつですので、点Ａ(1,1)に対応します。
ここで１回の試行ごとに、赤か白のいずれか一方が１個だけ増えますので、１回の試行はグラフでは1だけＸ軸またはｙ軸の正の方向（右または上）に移動することに相当します。つまり、x≧1かつy≧1を満たす格子点(ｘ座標y座標がともに整数である点）の一つ一つが試行後のすべての結果に対応することになります。　

ここでn回の試行を行ったあとは赤・白の合計の個数が最初の2個からn個増えているので、結果はすべて直線x+v=n+2の上にあります。グラフはn=1、2、5のときの結果を示しています。(例えば5回の試行後の状態はP,Q,R,S.T,Uのいずれかです）

n=1のとき、試行後の結果はB,Cのいずれかで、その確率は明らかに1/2ずつです。
n=2のとき　試行後の結果はD,E,Fのいずれかです。
　　　　　D,Fとなる確率は、A→B→D　A→C→F　の確率なのでそれぞれ1/2・2/(2+1)=1/3ずつです。
　　　　　またEとなる確率は　A→B→E　と　A→C→E の確率の和なので、1/2・1/(1+2)+1/2・1/(2+1)=1/6+1/6=1/3

この結果から、n回の試行の後のすべての場合(結果）について起こる確率は1/n+1で、すべて等しいのではないかと考えられます。以下数学的帰納法でこのことを示します。

n=kのとき
k回の試行を行った後の結果は、x≧1かつy≧1を満たす直線x+v=k+2の上の格子点k+1個に対応します。このk+1個の点に移動する確率がすべて1/k+1で等しいと仮定します。

n=k+1 のときを考えます、結果はx≧1かつy≧1を満たす直線x+v=k+3の上の格子点k+2個に対応します。

両端の　x=1またはy=1のときはそれぞれ　点(1,k＋1)、点(k+1.1)からの移動しかない（前者は下からの移動、後者は左からの移動だけしかない）ので、確率は(1/k+1)・((k+1)/(k+2))=1/k+2 です。

両端以外のときは、下からと左からの2方向からの移動があり、確率はこの両者の和です。

x+y=k+3 上にあってx≧2かつy≧2を満たす格子点Z(x.y)を考えますと、下から移動してくる確率は(1/k+1)・(y-1/k+2)、左から移動してくる確率は(1/k+1)・(x-1/k+2)なので

Zに移動する確率=(1/k+1)・(y-1/k+2)+(1/k+1)・(x-1/k+2)=(x+y-2)/(k+1)(k+2)=(k+1)/(k+1)(k+2)=1/k+2 (∵x+y=k+3）

よってn=k+1のすべての場合について　とる確率は　1/k+2　です、

以上をまとめますと、n=1　のときに成り立ち、n=k のとき成り立てばn=k+1のときも成り立つ、つまりすべての1以上の整数nについて成り立つことがわかります。

（No,13の下から6行目の誤記の訂正）

（誤り）3・2・P2 = 2・1・P1
（正）　3・2・P2 = 2・1・P1+1

お礼

分かりました 回答ありがとうございました

回答No.16

MagicianKuma

できる限り言葉での説明にトライしてみます。（成功すれば良いけど）
まず、n回の試行で白をa回、赤をb回引いたとします。b=n-aです。
一例として　　白白赤白赤・・・白赤 が起こる確率pを求める場合、
1回ごとに全体の玉の数が＋１していきますので、p=?/2 * ?/3 * ?/4 * ・・・ ?/(n+1)
となり、分母は 2*3*4*5*・・・*(n+1) になりますね。　じゃぁ分子はどうなるのかというと、
白を取るときの確率の分子の部分は、そのときの白の個数ですね。白を取ると白の個数が＋１されます。最初に1個ありますから、
白を取るところの確率は、1/?　2/?　3/?　・・・ a/? 同様に
赤を取るところの確率は、1/?　2/?　3/?　・・・ b/?　です。
これらをまとめると、分子=1*2*3*・・・*a * 1*2*3*・・・*b＝a!*b! 分母=2*3*4*・・・*(n+1)＝(n+1)!　　
確率=a!*b!/(n+1)!となります。これは白、赤の出現位置がどうであれ、同じように計算できるますね。
つまり、白白赤白赤・・・白赤　でも　白赤白白赤赤・・・白白　でも引く個数aが同じなら　全て同じ確率です。
では、白をa個引くパターンは何通りあるかというと、n回のうちどこかでa回引く訳ですから、nCa です。
結果：白をa回引く確率(白の個数がa+1になる）は nCa *a!*b!/(n+1)! = n!/(n-a)!/a!*a!*b!/(n+1)! = 1/(n+1)
この結果はaに関わらず、nのみで決まります。最終的に白石の数がk個となっている確率P(k)はP(1)=P(2)=P(3)=・・・＝P(n+1)　＝1/(n+1)
蛇足：
最初この問題を見たとき、最初に白を引けば、白が増え、次に白を引く確率が増えていく、なので白赤の数が一方に偏った方向にいきやすく、白赤の数が五分五分になる確率は小さいと直感的に思ったのですが、計算すると、どの状態も等しい確率で起きることはわかって、へぇ！おもろいな！と思いました。　以上

補足

わかりやすいのですが
「1回ごとに全体の玉の数が＋１していきますので、p=?/2 * ?/3 * ?/4 * ・・・ ?/(n+1)
白を取るところの確率は、1/?　2/?　3/?　・・・ a/? 同様に
赤を取るところの確率は、1/?　2/?　3/?　・・・ b/?　です。」
と文字化けして何が書いてあるか分からないのでできたら補足していただきたいです

回答No.15

ferien

ANo.12です。補足の質問について再回答です。ANo.12は削除でお願いします。

＞答えは合っています
「白赤と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、白白赤　→　白白赤赤
赤白と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、赤赤白　→　赤赤白白
なので、赤白の場合が、１回目の試行が条件に当てはまらないので、
考えられるのは白赤と取り出す場合だけです。」
＞なぜ赤白だと条件に当てはまらないのですか？赤赤白白なら条件満たしてませんか？

いろいろな回答がでてきたおかげで、
＞(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ
で何を求めているのかが分かりました。（問題の意味を取り違えていました。）

白玉が２個であるためには、何回目でもいいから１回白玉をを取り出す必要があり、
その確率は、何回目であっても等しいということです。
ANo.7では、（偶々）白赤の１回目に白玉を取り出す場合を求める確率としたというだけで、
赤白の２回目に白玉を取り出す場合を考えても、確率は同じことになります。
だから、赤白の場合が条件に当てはまらないということはないです。

できれば（２）以降の設問も載せて頂くと、（１）の意味も分かりやすくなると思います。

お礼

結局赤白は条件に当てはまるということですか？分かりました ありがとうございました

回答No.14

stomachman

n回目の試行が終わった時点で白1個赤n+1個になってる確率をp[n]、白2個赤n個になってる確率をq[n]とすると、
　　p[1] = q[1] = 1/2
白1個赤n+1個になるには、白1個赤n個の状態で赤を引く以外にないから、
　　p[n] = p[n-1] n / (n+1)　
白2個赤n個になるには、白1個赤n個の状態で白を引くか、白2個赤n-1個の状態で赤を引くか、そのどちらかしかないから、
　　q[n] = p[n-1] / (n+1) + q[n-1] (n-1) / (n+1)
という漸化式が得られる。

　pについては簡単に解けて、n回目の試行が終わった時点で白1個赤n+1個になってる確率は
　　p[n] = 1/(n+1)

　 qは一見難しそうだけど、実はp[n]=q[n]が常に成立つ。なぜなら、
(1) n=1のときは確かにp[n]=q[n]が成立ってる。
(2) n＞1のとき、もしp[n-1]=q[n-1]だとすると、
　　q[n] = p[n-1] / (n+1) + q[n-1] (n-1) / (n+1)
　　= p[n-1] (1+(n-1))/(n+1)
　　= p[n-1] n / (n+1)　（これはp[n]の漸化式の右辺だから）
　　= p[n]
なので、もしp[n-1]=q[n-1]ならp[n]=q[n]が成立つ。
(3) だから、全ての自然数n（n=1,2,3,…）についてp[n]=q[n]が成立つ。（数学的帰納法）

　以上から、n回目の試行が終わった時点で白2個赤n個になってる確率は
　　q[n] = p[n] = 1/(n+1)

補足

私情により返事が遅れました ごめんなさい
「白1個赤n+1個になるには、白1個赤n個の状態で赤を引く以外にないから、
　　p[n] = p[n-1] n / (n+1)　
白2個赤n個になるには、白1個赤n個の状態で白を引くか、白2個赤n-1個の状態で赤を引くか、そのどちらかしかないから、
　　q[n] = p[n-1] / (n+1) + q[n-1] (n-1) / (n+1)
という漸化式が得られる。」
この2つの式がなぜ出てくるのですか？ よければ教えてください

回答No.13

staratras

n回目の試行の後で「初めて白玉が2個になる」確率をP'nで表せば、まずP'1=1/2です。
また、n≧2　のときは　n-1回目までは赤を引き続け、n回目に白を引く確率なので
P'n=(1/2)(2/3)(3/4)…(n-1/n)(1/n+1)=1/n(n+1) です。

求めるn回目の試行の「後で白玉が2個である」確率をPnとすると、P1=1/2
n≧2のとき　Pnは以下の1、2、の確率の和です。
1、n回目の試行で初めて白を引いた確率
2、n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっていてかつn回目の試行では赤を引いた確率
したがって
Pn=1/n(n+1)+(Pn-1)×((n-1)/(n+1))

両辺にn(n+1)をかけて

n(n+1)Pn =n(n-1)Pn-1+1　以下同様に
n(n-1)Pn-1 =(n-1)(n-2)Pn-2+1
(n-1)(n-2)Pn-2=(n-2)(n-3)Pn-3+1
　　　　　 中略
3・2・P2 = 2・1・P1

上の式の右辺・左辺どおしをすべて加えると、n(n+1)Pn、(n-1)個の１、２・１・P１以外の項は皆うまい具合に消えてくれますので

n(n+1)Pn=(n-1)+2・1・P1=n-1+1=n
n(n+1)Pn=n

したがってPn=1/(n+1)

補足

私情により返事が遅れました すいません
n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっていてかつn回目の試行では赤を引いた確率が(Pn-1)×((n-1)/(n+1))だとわかるのはなぜですか？
また、n(n+1)Pn =n(n-1)Pn-1+1　以下同様に
n(n-1)Pn-1 =(n-1)(n-2)Pn-2+1
(n-1)(n-2)Pn-2=(n-2)(n-3)Pn-3+1
　　　　　 中略
3・2・P2 = 2・1・P1
というのはなにをしてるんですか？ できれば教えてください