ポリアの壷

質問

最初、袋の中に1個の白玉と1個の赤玉が入っている 袋の中から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を2個袋の中に入れる試行を繰り返す この試行を1回行う度に袋の中の玉の数は1個増加する
(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ

n＝2としたとき、白を最初に引く1/2×1/3と赤を最初に引く1/2×1/3を足し、白を最初と後に引く2Ｃ1通りをかけても答えが違います
なぜでしょうか？

回答No.12

ferien

ANo.7，ANo.10です。
ANo.7とANo.10は、内容に全然関連のない全く別の回答です。紛らわしくて済みません。

＞答えは合っています
「白赤と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、白白赤　→　白白赤赤
赤白と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、赤赤白　→　赤赤白白
なので、赤白の場合が、１回目の試行が条件に当てはまらないので、
考えられるのは白赤と取り出す場合だけです。」
＞なぜ赤白だと条件に当てはまらないのですか？赤赤白白なら条件満たしてませんか？

これは、ANo.7に対する補足と考えていいのでしょうか？

＞(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ
の意味を、すべてのｎについて白玉が２個であると考えた場合、
ｎ＝１のときも、ｎ＝２のときも白玉２個であるのは、
白赤と取り出す場合、白白赤（ｎ＝１）　→　白白赤赤（ｎ＝２）のときだけです。
赤白と取り出す場合は、赤赤白（ｎ＝１）　→　赤赤白白（ｎ＝２）なので、
ｎ＝１のときが、条件に当てはまりません。
ANo.7の答えが合っているのなら、上のような意味の説明になります。

ANo.10は、ANo.9さんの考えを元に回答を作ったものなので、
（１）の問題の解釈の仕方が全然違います。（もっと複雑です。）

どうでしょうか？
（ANo.10の答えが合っていると言う意味なら、また質問して下さい。）

回答No.11

yyssaa

この問題では、袋の中の白玉や赤玉の個数が減ることは
ないので、試行をn回行った後に袋に入っている白玉の
個数が2個ということは、n回のうち白玉を取り出した
回数が1回ということです。
従って、n＝2としたときは最初に白玉を取り出し次は
赤玉を取り出す場合と、最初に赤玉を取り出し次に白玉
を取り出す場合の2通りだけであり、その確率は、
質問にある「白を最初に引く1/2×1/3と赤を最初に引く
1/2×1/3を足し」であり、「白を最初と後に引く2Ｃ1
通りをかけて」は不要です。
以下に1≦nの場合の確率を示します。、
1≦r≦nとして
r回目に初めて白玉を取り出す確率は、1回目から(r-1)
回目まで赤玉を取り出し続けてr回目に白玉を取り出す
確率ですから、
(1/2)*(2/3)*(3/4)*・・・*{(r-1)/r}*{1/(r+1)}
={1*2*3*・・・*(r-1)*1}/{2*3*4*・・・*r*(r+1)}=1/{r*(r+1)}
になります。
その後、(r+1)回目からn回目まで赤玉を取り出し続ける
確率は、このときには白玉が2個になっているので、
{r/(r+2)}*{(r+1)/(r+3)}*・・・*{(n-2)/n}*{(n-1)/(n+1)}
={r*(r+1)*・・・*(n-2)*(n-1)}/{(r+2)*(r+3)*・・・*n*(n+1)}
={r*(r+1)}/{n*(n+1)}となります。
よって、n回の試行のうち、r回目は白玉を取り出し、それ
以外の(n-1)回は赤玉を取り出す確率は、上の2式から
[1/{r*(r+1)}]*[{r*(r+1)}/{n*(n+1)}]=1/{n*(n+1)}
となります。
求める確率は1回目からn回目までの間のいずれかの1回で
白玉を取り出し残りの(n-1)回は赤玉を取り出す確率なので、
求める確率=∑(r=1→n)[1/{n*(n+1)}]=n/{n*(n+1)}=1/(n+1)
となります。

補足

私情により返事が遅れました すみません
Σとはなんでしょうか？

回答No.10

ferien

ANo.7です。ANo.9さん、仰っている意味が分かりました。
（ANo.7は、問題の意味を取り違えていたかもしれません。）

＞(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ

ANo.9を参考にして考えてみました。

２回目までで、
白白赤　→　白白赤赤，（１／２）×（１／３）＝１／２・３
赤赤白　→　赤赤白白，（１／２）×（１／３）＝１／２・３
赤赤白　→　赤赤白赤，（１／２）×（２／３）＝２×（１／２・３）
このうち条件を満たすのは、（１／２・３）×２＝１／３
３回目
白白赤赤赤　（１／２）×（１／３）×（２／４）＝１／３・４
赤赤白白赤　（１／２）×（１／３）×（２／４）＝１／３・４
赤赤白赤白　（１／２）×（２／３）×（１／４）＝１／３・４　
赤赤白赤赤　（１／２）×（２／３）×（３／４）＝３×（１／３・４）
条件をみたすのは、（１／３・４）×３＝１／４
４回目
上３つ　　　（１／３・４）×（３／５）＝１／４・５
赤赤白赤赤白　３×（１／３・４）×（１／５）＝１／４・５
赤赤白赤赤赤　３×（１／３・４）×（４／５）＝４×（１／４・５）
条件をみたすの上から４つ、（１／４・５）×４＝１／５
　　　　　　　…………
ｎ回目　｛１／ｎ（ｎ＋１）｝×ｎ＝１／（ｎ＋１）
ｎ＝１のとき、１／（１＋１）＝１／２

（１）の求める確率は、
１／（ｎ＋１）（ｎ≧１）

のようになりましたが、どうでしょうか？

補足

答えは合っています
「白赤と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、白白赤　→　白白赤赤
赤白と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、赤赤白　→　赤赤白白
なので、赤白の場合が、１回目の試行が条件に当てはまらないので、
考えられるのは白赤と取り出す場合だけです。」

なぜ赤白だと条件に当てはまらないのですか？赤赤白白なら条件満たしてませんか？

回答No.9

B-juggler

Ｎｏ．６です。う～んと、そっか・・・。

Ｎｏ．７さんの要領で行けばいいんだけど。

ちょっと樹形図を描きますね。

該当する場所だけ、ピックアップしているんだけど。

赤で囲った（２，２）だけど、白赤　とひいているものだよ。　（１／６）ね

緑線は　白が三個あるから、ありえない（題意に合わない）ので考えない。

ちょっと行くと、白赤　とひいてしまうと、次は必ず　赤　をひかないといけない！

ので、確率は、ｎ＝３のときで、（１／２）×（１／３）×（２／４）　だね。

もう一方、最初に赤をひいた場合、これは両方生きてますね。

ｎ＝３　で。　赤白とひくと、次はやはり赤ね。

同じ式なんだけど　（１／２）×（１／３）×（２／４）

　＃この式で　樹形図一番、したから三番目だよ。

赤赤　の場合があるね。このとき、白を取ってあげると、（２，３）になるのかな。

これは、　（１／２）×（２／３）×（１／４）　だね。

ｎ＝３のときは、ここまで３つしかない。

白赤赤、赤白赤、赤赤白　の三通りしかないよね。

これ全部足してしまう。

（１／２）×（１／３）×（２／４）　＋　（１／２）×（１／３）×（２／４）

　＋（１／２）×（２／３）×（１／４）　＝（１／１２）×３　＝　（１／４）

こうなっていくはずなんだ～～。　｛１／（ｎ＋１）｝　だとおもうけど。

ちなみに次は、（ｎ＝４）

白赤赤赤、赤白赤赤、赤赤白赤、赤赤赤白　の四つ。

足すと　省くけど、（１／５）だよ。　ちょっと計算してみて？

個数は樹形図入れてるから、やりやすいとはおもうけど。

ざっと　（１／２）（１／３）（２／４）（３／５）　が二つ

（１／２）（２／３）（１／４）（３／５）と

（１／２）（２／３）（３／４）（１／５）　かね・・・。

この辺で切って帰納法かなんかでいけないかな？

場合わけよりも、こうなるはずだ！　でいいとおもうよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

数学的帰納法ですか 分かりました 何度もありがとうございました

回答No.8

ferien

ANo.7です。以下のように訂正をお願いします。

ｎ回目で、（ｎ≧２）
（１／２）×（１／３）×（２／４）×（３／５）×　……×（ｎ－１）／（ｎ＋１）
＝（ｎ－１）！／（ｎ＋１）！
＝１／｛ｎ（ｎ＋１）｝
ｎ＝１のとき、１／｛１・（１＋１）｝＝１／２なので、このときも上の式を満たすから、

求める確率は、１／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧１）

回答No.7

ferien

最初、袋の中に1個の白玉と1個の赤玉が入っている 袋の中から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を2個袋の中に入れる試行を繰り返す この試行を1回行う度に袋の中の玉の数は1個増加する
＞(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ

n＝2としたとき、白を最初に引く1/2×1/3と赤を最初に引く1/2×1/3を足し、
＞白を最初と後に引く2Ｃ1通りをかけても答えが違います
＞なぜでしょうか？
2Ｃ1を掛ける必要はないと思います。答えは分からないので何とも言えません。

（１）について考えてみました。
２回までで、白白、赤赤と取り出す場合は条件に当てはまリません。
白赤と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、白白赤　→　白白赤赤
赤白と取り出す場合、（１／２）×（１／３）で、赤赤白　→　赤赤白白
なので、赤白の場合が、１回目の試行が条件に当てはまらないので、
考えられるのは白赤と取り出す場合だけです。、
３回目以降は、赤を引いた場合しか条件に当てはまらないので、
３回目で、（１／２）×（１／３）×（２／４）で、赤赤赤白白
４回目で、（１／２）×（１／３）×（２／４）×（３／５）で、赤赤赤赤白白
　　　　　　　　…………
ｎ回目で、
（１／２）×（１／３）×（２／４）×（３／５）×　……×（ｎ－１）／（ｎ＋１）
＝（ｎ－１）！／（ｎ＋１）！
＝１／｛ｎ（ｎ＋１）｝

になりましたがどうでしょうか？（答えを教えて下さい。）

回答No.6

B-juggler

Ｎｏ．５　補足の所。

その前に、2Ｃ1　をかける必要がないのの確認をしてね。

　＃ここで書いてもいいけど、あなたのためにはならない。

樹形図、分かりづらいかもしれないけど

上から二択になっているでしょう？

上が白を取るとき、下が赤を取るときね。

ちょっと省略して、ひいた色を一個ひいて、題意に沿って＋２してます。

ｎ＝３，４，・・・・　ってやっていくと、分かるとおもうんだけど、

「白を一回しかひかない」というケースになるはずなんだ。

そこに気がついたらそんなに苦労することはないとおもうよ。

前の樹形図を、そのまま伸ばしてみたらどうかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

樹系図書いてみましたが全く分からないんですが…
白を1回しか引かない、つまり白を引くのが何回目かで場合分けしなきゃいけないのに一般化したら何回行うか分からないから場合分けできないですし
教えてください

回答No.5

B-juggler

ん？問題ちゃんと読もうね。

ｎ＝２　のときだから、最後は玉４つになってるね。

それはいいんだけど＾＾；

　＃ちょっとヒントにはなってるんだけど。

2Ｃ1　は何故かけなきゃいけない？

答えは　（１／３）になっているとおもうけど？

樹形図書いてみたらどうかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

え？2Ｃ1以外に何か不備がありましたか？
回答ありがとうございました

ついでに、n＝3、n＝4とやっていくと1/(n+1)になるのはわかるんですが一般化してそれを導く方法はどうやるんでしょうか？

回答No.4

tengenseki

１です。勘違いしていました。撤回します。

お礼

分かりました

回答No.3

alice_44

だから、答えは (1/2)(1/3)+(1/2)(1/3) で ok.
2C1 を掛ける必要がないだけだが、
何を勘違いすると 2C1 が掛けたくなるのかは、
気持ちが解らない。できたら自己解説よろしく。

お礼

2Ｃ1はいらないんですね
ありがとうございました