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袋から玉を取り出す問題
赤玉1個、白玉2個入っている袋がある この袋から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を3個袋の中に入れる試行を繰り返す(つまり赤玉を引くと赤玉が2個増え袋の中は赤玉3個、白玉2個となる) このとき、k回目の試行で赤玉を取り出す確率はいくらか 2回目の試行で赤玉を取り出す確率は 最初白玉を引く2/3×1/5＝2/15と 2回連続で赤玉を引く1/3×3/5＝1/5を足して5/15＝1/3 3回目の試行で赤玉を取り出す確率は 最初のみ白玉を引く2/3×1/5×3/7＝6/105と 最初と2番目に白玉を引く2/3×4/5×1/7＝8/105と 二番目のみ白玉を引く1/3×2/5×3/7＝6/105と 白玉を引かない1/3×3/5×5/7＝15/105を足して35/105＝1/3 つまりkによらずＰk＝1/3でいいのでしょうか？他にも補足があれば教えてください
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- linus3030
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最初の玉を Ａ白 Ｂ白 Ｃ赤 名つけ それらによって発生した 玉も 同じ名前をつけるとします。 ＡＢＣは対等なので それぞれの玉を引く確立は対等で 1/3 よって Ｐk＝1/3 いかがでしょうか
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- staratras
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ｎ回目の試行で赤玉を取り出す確率をPｎとします。 明らかにP1=1/3 です。1回試行を行うごとに袋の中の赤玉・白玉の合計数は2個増え、ｎ回目の試行で赤玉は2Pn個増えます。 したがって以下の式が成り立ちます。 P2=(1+2P1)/5 → 5P2=1+2P1 …(1) P3=(1+2(P1+P2))/7 → 7P3=1+2(P1+P2) …(2) P4=(1+2(P1+P2+P3))/9 → 9P4=1+2(P1+P2+P3)…(3) Pk=(1+2(P1+P2+P3+…+Pk-1)/(2k+1) → (2k+1)Pk=1+2(P1+P2+P3+…+Pk-1) …(4) ここでP1=1/3を(1)に代入するとP1=P2=1/3 これを(2)に代入すると P1=P2=P3=1/3 これを(3)に代入すると P1=P2=P3=P4=1/3 が成り立ちますので nの値にかかわらず、すべてPn=1/3 だと考えられ、これを数学的帰納法で示します。 n=1のとき上に示したようにP1=1/3 で成り立つ n=kのとき P1=P2=P3=…Pk=1/3 が成り立つと仮定すると、 n=k+1のとき(4)から (2k+3)Pk+1=1+2(P1+P2+P3+…+Pk) (2k+3)Pk+1=1+2（(1/3)・k)=(2k+3)/３ Pk+1=1/3 となり成り立つ。 よって、 kの値にかかわらず、すべてPk=1/3
質問者からのお礼
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