袋から玉を取り出す問題

質問

赤玉1個、白玉2個入っている袋がある この袋から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を3個袋の中に入れる試行を繰り返す(つまり赤玉を引くと赤玉が2個増え袋の中は赤玉3個、白玉2個となる)
このとき、k回目の試行で赤玉を取り出す確率はいくらか

2回目の試行で赤玉を取り出す確率は
最初白玉を引く2/3×1/5＝2/15と
2回連続で赤玉を引く1/3×3/5＝1/5を足して5/15＝1/3
3回目の試行で赤玉を取り出す確率は
最初のみ白玉を引く2/3×1/5×3/7＝6/105と
最初と2番目に白玉を引く2/3×4/5×1/7＝8/105と
二番目のみ白玉を引く1/3×2/5×3/7＝6/105と
白玉を引かない1/3×3/5×5/7＝15/105を足して35/105＝1/3

つまりkによらずＰk＝1/3でいいのでしょうか？他にも補足があれば教えてください

回答No.1

linus3030 · ベストアンサー

最初の玉を　Ａ白　Ｂ白　Ｃ赤　名つけ
それらによって発生した　玉も　同じ名前をつけるとします。

ＡＢＣは対等なので　それぞれの玉を引く確立は対等で　1/3
よって　Ｐk＝1/3

いかがでしょうか

お礼

分かりました ありがとうございました

回答No.2

staratras

ｎ回目の試行で赤玉を取り出す確率をPｎとします。

明らかにP1=1/3 です。1回試行を行うごとに袋の中の赤玉・白玉の合計数は2個増え、ｎ回目の試行で赤玉は2Pn個増えます。

したがって以下の式が成り立ちます。
P2=(1+2P1)/5 　　 　 →　5P2=1+2P1　　　　…(1)
P3=(1+2(P1+P2))/7　　　 → 7P3=1+2(P1+P2) 　 …(2)
P4=(1+2(P1+P2+P3))/9　→　9P4=1+2(P1+P2+P3)…(3)

Pk=(1+2(P1+P2+P3+…+Pk-1)/(2k+1)
　→　(2k+1)Pk=1+2(P1+P2+P3+…+Pk-1) …(4)

ここでP1=1/3を(1)に代入するとP1=P2=1/3
これを(2)に代入すると　P1=P2=P3=1/3
これを(3)に代入すると　P1=P2=P3=P4=1/3 が成り立ちますので
nの値にかかわらず、すべてPn=1/3 だと考えられ、これを数学的帰納法で示します。

n=1のとき上に示したようにP1=1/3　で成り立つ
n=kのとき　P1=P2=P3=…Pk=1/3 が成り立つと仮定すると、
n=k+1のとき(4)から　(2k+3)Pk+1=1+2(P1+P2+P3+…+Pk)
　　　　　 　　　　 (2k+3)Pk+1=1+2（(1/3)・k)=(2k+3)/３
Pk+1=1/3 となり成り立つ。

よって、 kの値にかかわらず、すべてPk=1/3

お礼

分かりました ありがとうございました