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確率 袋から玉を取り出す
❶赤玉7個と白玉3個が入っている袋から4この玉を取り出すとき、次の確率はいくらになるか (1)赤玉2個と白玉2個となる確率 (2)少なくとも1個が白玉となる確率 ❷赤玉3個と白玉2個が入っている袋から玉を1個ずつ、もとに戻さないで、2回続けて取り出す。 このとき1回目に赤玉が出たという条件の下で、2回目も赤玉が出る確率を求めよ。 まだ授業では習っていないので(予習の段階)、解き方なども教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。
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ANo.2への補足に対する追加回答です。 なお、『通知メール』にチェックを入れてなかったので、回答が遅くなり、申し訳ありませんでした。 『ベイズの定理』とは、結果が確定している場合に、その結果から考察するものであり、質問では「1回目に赤玉が出たという条件の下で」という『条件付き確率』になります。 よって、補足にあるように、「1回目に赤玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉2個と白玉2個。ここから玉を1個取り出して、赤玉が出る確率は、2/4=1/2」と簡単に考えればいいです。
ANo.1の訂正です。 ANo.1は無視してください。 ❶（訂正はありません。） (1) 赤玉7個と白玉3個のすべてに区別が付くとすると、4個の玉の取り出し方は、10C4=210通り 赤玉7個から赤玉2個を選ぶ選び方は、赤玉7個に区別が付くとすると、7C2=21通り 白玉3個から白玉2個を選ぶ選び方は、白玉3個に区別が付くとすると、3C2=3通り よって、求める確率は、 21*3/210=3/10 (2) すべて赤玉となる確率は、(1)と同様に考えて、7C4/210=35/210=1/6 よって、求める確率は、 1-1/6=5/6 ❷ まず、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えずに、一般な場合を考えます。 赤玉3個と白玉2個が入っている袋から玉を1個ずつ、もとに戻さないで、2回続けて取り出す場合、 1回目に赤玉が出て2回目も赤玉が出る確率は、3/5*2/4=3/10－(1) 1回目に赤玉が出て2回目に白玉が出る確率は、3/5*2/4=3/10－(2) 1回目に白玉が出て2回目も白玉が出る確率は、2/5*1/4=1/10－(3) 1回目に白玉が出て2回目に赤玉が出る確率は、2/5*3/4=3/10－(4) 以上が、起こり得るすべての場合（事象）であるから、当然に(1)+(2)+(3)+(4)=10/10=1 しかし、この質問の場合には、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えるので、 上の(1)と(2)の場合に限定して考えます。 この考え方は、『ベイズの定理』と呼ばれるものです。 そして、この考え方では、求める確率は、次のようになります。 (1)/((1))+(2))=3/10/(3/10+3/10)=3/10/(6/10)=3/6=1/2 （❷の別解） 1回目に赤玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉2個と白玉2個 ここから玉を1個取り出して、赤玉が出る確率は、2/4=1/2 このように考えた方が簡単でした。 なお、参考までに、「1回目に白玉が出たという条件の下で、2回目も白玉が出る確率」は、 上の『ベイズの定理』によると、 (3)/((3)+(4))=1/10/(1/10+3/10)=1/10/(4/10)=1/4 また、1回目に白玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉3個と白玉1個 ここから玉を1個取り出して、白玉が出る確率は、1/4
❶ (1) 赤玉7個と白玉3個のすべてに区別が付くとすると、4個の玉の取り出し方は、10C4=210通り 赤玉7個から赤玉2個を選ぶ選び方は、赤玉7個に区別が付くとすると、7C2=21通り 白玉3個から白玉2個を選ぶ選び方は、白玉3個に区別が付くとすると、3C2=3通り よって、求める確率は、 21*3/210=3/10 (2) すべて赤玉となる確率は、(1)と同様に考えて、7C4/210=35/210=1/6 よって、求める確率は、 1-1/6=5/6 ❷ まず、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えずに、一般な場合を考えます。 赤玉3個と白玉2個が入っている袋から玉を1個ずつ、もとに戻さないで、2回続けて取り出す場合、 1回目に赤玉が出て2回目も赤玉が出る確率は、7/10*6/9=14/30－(1) 1回目に赤玉が出て2回目に白玉が出る確率は、7/10*3/9=7/30－(2) 1回目に白玉が出て2回目も白玉が出る確率は、3/10*2/9=2/30－(3) 1回目に白玉が出て2回目に赤玉が出る確率は、3/10*7/9=7/30－(4) 以上が、起こり得るすべての場合（事象）であるから、当然に(1)+(2)+(3)+(4)=30/30=1 しかし、この質問の場合には、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えるので、 上の(1)と(2)の場合に限定して考えます。 この考え方は、『ベイズの定理』と呼ばれるものです。 そして、この考え方では、求める確率は、次のようになります。 (1)/((1))+(2))=14/30/(14/30+7/30)=14/30/(21/30)=14/21=2/3
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補足
>（❷の別解） 1回目に赤玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉2個と白玉2個 ここから玉を1個取り出して、赤玉が出る確率は、2/4=1/2 このようにして求めてもいいのでしょうか? このように考えた方が簡単でした。