数Ｂ ベクトルの問題です。

質問

座標平面上に３点Ａ（２．０）Ｂ（４．０）Ｃ（０．４）がある

点Ｄ（０．１）を中心とする半径１の円の周上の点Ｐが次の条件を満たすとき

点Ｐと直線ＡＣの距離を求めよ

→　　　→　　→　　　　→
ＡＣ・（２ＡＰ-ＡＢ）＝｜ＡＣ｜２乗

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Pの座標を(p,q)とおくと
　p^2+(q-1)^2=1 ...(1)
条件式より
　(-2,4)・(2(p-2,q)-(2,0))=2^2+4^2
　(-2,4)・((2p-4,2q)-(2,0))=20
　(-2,4)・(2p-6,2q)=20
　-2(2p-6)+4(2q)=20
　-4(p-3)+4(2q)=20
　3-p+2q=5
　2q=p+2 ...(2)
(1),(2)より
　P(p,q)=(-2√5/5,(5-√5)/5), (2√5/5,(5+√5)/5) ...(3)
直線ACの方程式は
　2x+y-4=0
点P(x,y)と直線ACの距離Lは、距離の公式より
　L=|2p+q-4|/√(4+1)=(4-2p-q)/√5

条件を満たす点Pは(3)の2通り有るのでLも2通りある。
　点P(p,q)=(-2√5/5,(5-√5)/5)の時　L=(5+3√5)/5　（図のPH）
　点P(p,q)=(2√5/5,(5+√5)/5)の時　L=(3√5-5)/5　　(図のP'H)

お礼

間違って、問題回答のお願いをすることなく、問題だけを送信してしまったのですが、ていねいにお答えをいただいてありがとうございました。

とてもわかり易い解答で助かりました。
ありがとうございます！