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解説お願いします。

2012 スタンダード160 (1)円(x-2)^2+(y-1)^2=2によって、直線x+y-k=0が切り取られてできる線分の長さが2となるとき、kの値を求めよ。 (2)直線y=-3x-4が円x^2+y^2-6x+10y+26=0により切り取られてできる線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。 解答 (1)k=3±√2 (2)y=1/3x-6 解説していただけると助かります!

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.5

(1) 円(x-2)^2+(y-1)^2=2と直線x+y-k=0の交点をA、Bとする。 円の中心C(2,1)から直線x+y-k=0の垂線と直線との交点をPとする。 円と直線の距離d d = |2+1-k|/√(1^2+1^2) = |3-k|/√2 = |k-3|/√2 AB=2より AP=BP=1 三角形CAPは直角三角形なので三平方の定理より 1^2+d^2=(√2)^2 …(√2は円の半径) 1+|k-3|/√2 = 2 |k-3|/√2 = 1 |k-3|=√2 よって k-3=±√2       …(絶対値の扱いが苦手なら|k-3|^2=(k-3)^2から出ます) k=3±√2 (2) x^2+y^2-6x+10y+26=0 (x-3)^2+(y+5)^2=8 よって円の中心は(3,-5) 円によって垂直二等分線は直線y=-3x-4と直交するので 求める垂直二等分線の直線の式の傾きmは m×(-3) = -1 …(直線の直交条件) m = 1/3 垂直二等分線の方程式は円の中心(3,-5)を通るので y-(-5) = 1/3(x-3) y=1/3x-6

yariyari80
質問者

お礼

分かりやすい解説を本当にありがとうございます! もう一度自分でやってみます!

その他の回答 (4)

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.4

(2) なるほど、円の中心を通る傾き1/3の直線でいいわけか。 円の中心は(3,-5)だから、y=(x/3)+bにおいて -5=3/3+bよりb=-6 ∴y=(x/3)-6 こちらの方が私の先ほどの回答(エレファント)よりずっとエレガントである。

yariyari80
質問者

お礼

解き方にもいろいろなアプローチのしかたがあるんですね! そのあたりにも気づけるようになりたいものです!

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.3

おっと失礼。 >両端の座標の中点(3/5,-29,5) 両端の座標の中点(3/5,-29/5)

yariyari80
質問者

お礼

補足ありがとうございます。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.2

(2) 直線と円との交点を求める。 x^2+y^2-6x+10y+26=0 に y=-3x-4 を代入する。 x^2+(-3x-4)^2-6x+10(-3x-4)+26=0 10x^2-12x+2=0 5x^2-6x+1=0 (5x-1)(x-1)=0 x=1/5,1 このとき、y=-23/5,-7 よって、直線が円によって切り取られる線分の両端の座標は(1/5,-23/5)と(1,-7) 求める垂直二等分線は、両端の座標の中点(3/5,-29,5)を通り、傾きが1/3の直線である。 y=(x/3)+b にx=3/5,y=-29/5を代入する。 -29/5=1/5+b b=-6 ∴求める垂直二等分線の式はy=(x/3)-6

yariyari80
質問者

お礼

分かりやすい解法をありがとうございます! とても助かりました!

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

(1) そのためには、(2,1) と直線の間の距離が いくらであればよいか。 (2) y = -3x-4 に垂直で、(3,-5) を通る直線。

yariyari80
質問者

お礼

ありがとうございます! やってみたら解けました!

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