数学です√

質問

解けません。
わかりやすい説明お願いします。

不等式√(|x-1|)≧|x-3/4|を解け。
方程式√(|x-1|)=|x-k|が異なる4つの実数解をもつとき、実数の定数kのとりうる値の範囲を求めよ。

回答No.6

think2nd

inf・・・さんと　ali・・・さんからの頼もしい回答があるのに質問者がフリーズしているようですね。
　inf・・・さんの完璧な模範解答で十分です。
　それをを基本にそして、ali・・・さんから頂いたインスピレーションから、後半の回答を示します。

　　X-1=tとおく。与式
　√(|x-1|)=|x-k|は
　　√(|t|)=|t+1-k|・・・(1)
　　とおける。
　　(1)を2乗して
　|t|=t^2＋２(1-k)t+(1-k)^2　整理すると、
　　t^2＋２(1-k)t-|t｜+(1-k)^2=0　・・・(2)
　　と|t|の2次方程式ができる。(なぜならt^2=|t|^2だから)
　　|t|≠0でありかつ正であれば必ずtは正負の２つを解に持ち
　　　また|t|が異なる２つの解を持てば計４つの解xを持つ。
　　i）t>0のとき　
　　　　　t^2＋(1-2k)t+(1-k)^2=0　
　　　　２つの正の解を持てばいいから
　　　　解と係数の関係から（２つの解の和が正、積は正になっているから２つの解は同符号である。）
　　　-(1-2k)>０　より　1/2<k・・・(3)
　　　かつ　判別式>０より
　　　　　　　D=(1-2k)^2－４(1-k)^2＞0　を解くと
　　　　　　　　3/4<k
　　　　　　　　　これは(3)の範囲にあるから２つの正の解をもつには
　　　　　　　3/4<k　であればいい。
　ii)t<0のとき　(2)は
　　　　　　　t^2＋(3-2k)t+(1-k)^2=0　で２つの負の解をもてばいい。
　　　　　　　　上と同様に
　　　　　解と係数の公式より和は負
　　　　　すなわち　　-(3-2k)<０より
　　　　　3/2<k　・・・(4)
　　　　　かつ
　　　　判別式>０をとくと　5/4>k　このkの取り得る値の範囲は(4)を満たすから、
　　　　　２つの負の解をもつkの範囲は
　　　　　　　　5/4>k　　　　　

　　　　i)ii)が同時に成り立つときxは異なる４つの解を持つ。
　　　　　すなわち　3/4<k<5/4　ただしk≠１