数学の問題です!

質問

一辺acmの正方形ABCDの各頂点を中 心として半径acmの弧をかき交点をE,F ,G,Hとする。次に、E,F,G,Hを通る正 方形PQRSを、その辺が正方形ABCD の辺と平行になるよよう図のように かく。 このとき、影のっけた部分の 面積を求めなさい。

答えは、(3-√3-1/3兀)a2cm2 aのあとの２は二乗の意味です。

詳しい説明お願いします。

まだ、中学卒業したばっかりなので中学までの数学知識で解けるように説明お願いします。

回答No.2

yyssaa

円弧AEFCは点Dを中心とした半径aの円の一部ですから
AD=DE=DF=CD=aです。
円弧BEHDは点Cを中心とした半径aの円の一部ですから
CE=aです。
円弧BFGDは点Aを中心とした半径aの円の一部ですから
AF=aです。
以上からAD=AF=DF=a、DE=CD=CE=aとなるので、
△ADFと△CDEは共に1辺の長さがaの正三角形である
ことが分かり、∠ADF=∠CDE=60度になります。
従って∠ADEと∠CDFは共に90度ー60度=30度になるので、
∠EDFも30度になります。
　次に扇形EDFの面積S1を求めます。半径aの円の面積
はπa^2ですから、S1=(πa^2)*30度/360度=(πa^2)/12
になります。
　次に△EDFの面積S2を求めます。△EDFは∠EDF=30度
でDE=DF=aの二等辺三角形ですから、点Eから辺DFに
下ろした垂線の長さはa/2になります。従ってS2は
DF×垂線の長さ÷2から、S2=a*(a/2)*(1/2)=(1/4)a^2
になります。
　次に△PEFの面積S3を求めます。
まずPFの長さですが、これは点Fが辺ABと辺CDの中間に
位置しているので(何故なら△ADFは正三角形)、点Fと
辺ABとの距離はa/2になり、点Pと辺ABとの距離は、BC
=aから△CDEの高さa(√3)/2を引いた値a(2-√3)/2に
なるので、(a/2)-a(2-√3)/2=a(-1+√3)/2がPFの長さ
になります。PE=PFは明らかですから△PEFの面積S3は、
S3=(1/2)*{a(-1+√3)/2}^2=a^2(4-2√3)/8
=a^2(2-√3)/4となります。
以上から求める面積SはS3からS1とS2の差をひいた面積
の4倍となり、
S=4*{S3-(S1-S2)}=4*{a^(2-√3)/4-(πa^2)/12+(1/4)a^2}
=a^2(2-√3-π/3+1)=(3-√3-π/3)a^2 (cm^2)となります。