数学IIの基礎～軌跡～

質問

問）Ａ（a,b）,Ｂ（ｃ,ｄ）とするとき、∠ＡＰＢが直角となるような点Ｐの軌跡を求めよ。ただし、Ａ≠Ｂである。

こういう問題では、a,b,c,dがどんな値でも、軌跡を求めて答えを書く際に、点ＰはＡ、Ｂに重なるときを除くと書かなければいけなんですか？

回答お願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

ＡNo.1です。ANo.3さんご指摘ありがとうございます。

＞（点ＰはＡ、Ｂに重なるときを除く）
とことわっていればいいと思ったのですが、「ｘ＝ａでない」「ｘ＝ｃでない」と言う条件も追加して下さい。
点ＰがＡ，Ｂと重なってしまえば、ｘ＝ａ，ｘ＝ｃになってしまうので、直線ＡＰとＢＰの傾きを考えられなくなります。だから、点ＰがＡ，Ｂと重なる場合を除きます。

傾きの関係を使わないで解くには、Ｐ（ｘ，ｙ）とすると、
∠ＡＰＢが直角だから、△ＡＰＢはＡＢを斜辺とする直角三角形だから、
ＡＢ^2＝ＡＰ^2＋ＢＰ^2より、、
｛（ａ－ｃ）^2＋（ｂ－ｄ）^2｝
＝｛（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｂ）^2｝＋｛（ｘ－ｃ）^2＋（ｙ－ｄ）^2｝から
式変形をしても求められますが、傾きの関係から求める方が計算は楽です。

この場合もＡとＰが重なればＡＰ＝０だから、ＡＢ^2＝ＢＰ^2
ＢとＰが重なればＢＰ＝０だから、ＡＢ^2＝ＡＰ^2
となって、△ＡＢＰは直角三角形になりません。

だから、「点ＰはＡ、Ｂに重なるときを除く」と書かなければいけないことになります。

お礼

詳しく分かりやすい回答ありがとうございました。

回答No.3

NemurinekoNya

No.1のferienさんの回答はほぼ正解なのですけれども

>（ｘ，ｙ）とすると、
直線ＡＰの傾き＝（ｙ－ｂ）／（ｘ－ａ） (1)
直線ＢＰの傾き＝（ｙ－ｄ）／（ｘ－ｃ） (2)

に少しアラがあるかな。(1)でx=a、(2)でx=cの時にゼロ割りが発生するので、
直線ＡＰの傾き＝（ｙ－ｂ）／（ｘ－ａ） (x≠a) (1')
直線ＢＰの傾き＝（ｙ－ｄ）／（ｘ－ｃ） (x≠c) (2')
とする必要がなります。で、この時がまさにPがAまたはBに重なる時です。

お礼

「ｘ＝ａでない」「ｘ＝ｃでない」も、そういう理由から明記する必要があるんですね。

回答ありがとうございました。

回答No.2

NemurinekoNya

「∠APB=∠Rだから、軌跡はA(a,b),B(c,d)を両端とする円(∵円周角の定理)。
求める軌跡は(x-(a+c)/2))^2+(y-(b+d)/2)^2 = ((a-b)^2+(c-d)^2)/4
ただし、A(a,b),B(c,d)を除く」
が答ですかね。

さて、質問の本題。
PがAまたはBと重なるとき、∠APB=2∠R
となり、条件∠APB=∠Rを満たしません。よって、PがAまたはBと重なるときは除くと明記する必要があります。

お礼

やっぱり、この場合はそういう理由から明記する必要があるんですね。

回答ありがとうございました。

回答No.1

ferien

＞問）Ａ（a,b）,Ｂ（ｃ,ｄ）とするとき、∠ＡＰＢが直角となるような点Ｐの軌跡を求めよ。
＞ただし、Ａ≠Ｂである。
Ｐ（ｘ，ｙ）とすると、
直線ＡＰの傾き＝（ｙ－ｂ）／（ｘ－ａ）
直線ＢＰの傾き＝（ｙ－ｄ）／（ｘ－ｃ）
∠ＡＰＢが直角になるから、
｛（ｙ－ｂ）／（ｘ－ａ）｝×｛（ｙ－ｄ）／（ｘ－ｃ）｝＝－１より、
（ｘ－ａ）（ｘ－ｃ）＋（ｙ－ｂ）（ｙ－ｄ）＝０
展開して、平方完成により整理すると、
｛ｘ－（ａ＋ｃ）／２｝^2＋｛ｙ－（ｂ＋ｄ）／２｝^2＝(1/4)｛（ａ－ｃ）^2＋（ｂ－ｄ）^2｝
点Ｐの軌跡は、中心がＡ，Ｂの中点、直径がＡＢの距離である円
（点ＰはＡ、Ｂに重なるときを除く）

＞こういう問題では、a,b,c,dがどんな値でも、軌跡を求めて答えを書く際に、
＞点ＰはＡ、Ｂに重なるときを除くと書かなければいけなんですか？
ＰがＡ，Ｂと重なってしまうと、∠ＡＰＢが直角にならず、
直線ＡＰまたは直線ＢＰになってしまうから、除くのだと思います。

どうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。