高校数学 【確率】 です

質問

平面上に正四面体が置いてある。
平面と接している面の３辺のひとつを任意に選び、これを軸として正四面体をたおす。
ｎ回の操作の後に、最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率Ｐnを求めよ。

という問題です。

すみませんがお願いしますm(__)m

回答No.5

matelin

ANo2です。
すでにお分かりかと思いますが、
あなたの問題文中の「再び」という語句の解釈が２通り可能であることが、
私の回答と、ＡＮｏ４さんの回答との違いの原因です。
この再びと言う語句を厳密に受け止めて、
　「問題は、n回の操作の後に、最初に平面と接していた面Aが
　　再び平面と接する確率であるから、1回～(n-1)回までの操作
　　では常にBかCかDが平面に接していなければならない」
と受け止めれば、ＡＮｏ４さんの回答になります。

私はこの「再び」という語句を「また」程度におおざっぱに受け止めたので、
1回～(n-1)回までの操作において面Ａが平面に接していてもよい、と考えています。

実は私もこの「再び」という語句にはちょっと違和感を感じていました。
なぜなら、この語句が無くても、私の解釈になるからであり、
なぜわざわざ「再び」がついているのかなぁ、と思ったからです。

わざわざ「再び」という語句を付けたことより、
ＡＮｏ４さんの解釈の方が正しいかもしれません。

問題としては、私の解釈の方が面白いですけどね。

回答No.4

yyssaa

済みません。間違えました。ANo.3の回答は無視して下さい。
以下の通り再回答します。

正四面体の4面について、最初に平面と接していた面をA、
その他の面をそれぞれB、C、Dとし、それらの面が平面と
接する事象をそれぞれ事象A(略して単にA。以下同じ)
事象B事象C事象D、それらの事象がr回目の操作(1回)で
生じる確率をそれぞれPA(r)PB(r)PC(r)PD(r)すると、
1回目の操作で生じる事象はB又はC又はDであり、いずれも
1/3の確率で生じるので、PB(1)=PC(1)=PD(1)=1/3、
いずれかが生じる確率は(1/3)*3=1となる。
次に2回目の操作で生じる事象の確率を求めるために、
(1回目の操作で生じ得る事象ー2回目の操作で生じ得る事象)
を列挙すると、
(B-A)(B-C)(B-D)(C-A)(C-B)(C-D)(D-A)(D-B)(D-C)の9通り
となり、PB(2)=PC(2)=PD(2)=2/9となり、事象B又はC又は
Dが生じる確率は(2/9)*3=2/3となる。
n回の操作の後にAが再び平面と接する(事象Aが生じる)という
ことは、1回目～(n-1)回目の操作の後は常に事象B又はC又は
Dが生じていなければならない。
従って3≦r≦(n-1)でもPB(r)=PC(r)=PD(r)=2/9となり、事象B
又はC又はDが連続して(n-1)回続いて生じる確率は、
1*(2/3)*(2/3)*(2/3)・・・・*(2/3)=(2/3)^(n-2)となる。
そしてn回目の操作で事象B又はC又はDから事象Aが生じる確率
は1/3なので、求めるPnはPn=(1/3)*(2/3)^(n-2)となる。

回答No.3

yyssaa

正四面体の4面について、最初に平面と接していた面をA、
その他の面をそれぞれB、C、Dとし、r回(r≧1)の操作の
後に面x(x=A,B,C,D)が平面と接する確率をPx(r)とすると、
PA(1)=0=0/3
PB(1)=PC(1)=PD(1)=1/3
PA(2)=PB(1)*1/3+PC(1)*1/3+PD(1)*1/3=3/(3^2)
PB(2)=PC(1)*1/3+PD(1)*1/3=2/(3^2)
同様にPC(2)=PD(2)=2/(3^2)
PA(3)={PB(2)+PC(2)+PD(2)}*1/3=6/(3^3)
PB(3)={PA(2)+PC(2)+PD(2)}*1/3=7/(3^3)
同様にPC(3)=PD(3)=7/(3^3)
PA(4)={PB(3)+PC(3)+PD(3)}*1/3=21/(3^4)
PB(4)={PA(3)+PC(3)+PD(3)}*1/3=20/(3^4)
同様にPC(4)=PD(4)=20/(3^4)
PA(5)={PB(4)+PC(4)+PD(4)}*1/3=60/(3^5)
PB(5)={PA(4)+PC(4)+PD(4)}*1/3=61/(3^5)
同様にPC(5)=PD(5)=61/(3^5)
PA(6)={PB(5)+PC(5)+PD(5)}*1/3=183/(3^6)
PB(6)={PA(5)+PC(5)+PD(5)}*1/3=182/(3^6)
同様にPC(6)=PD(6)=182/(3^6)
以上から、PB(r+1)=PC(r+1)=PD(r+1)を簡単のためP(r+1)とし、
PB(r)=PC(r)=PD(r)=P(r)とすると、次の漸化式が得られ、
P(r+1)=P(r)+(-1)^r/{3^(r+1)}
P(r+1)をP(1)とrで表すと以下の式になる。
P(r+1)=P(1)+{1/3^(r+1)}∑(k=0→r-1){(3^k)*(-1)^(r-k)}
ここでP(1)はPB(1)=PC(1)=PD(1)=1/3なので
P(r+1)={1/3^(r+1)}∑(k=0→r){(3^k)*(-1)^(r-k)}となる。
この式でr+1=nとおくと、
P(n)={1/3^n}∑(k=0→n-1){(3^k)*(-1)^(n-1-k)}となり、
これに3を乗じた3*P(n)は、n回の操作の後にB又はC又はDの
いずれかが平面に接している確率になる。
　問題は、n回の操作の後に、最初に平面と接していた面Aが
再び平面と接する確率であるから、1回～(n-1)回までの操作
では常にBかCかDが平面に接していなければならず、その
確率はΠ(i=1→n-1)3*P(i)であり、(n-1)回目の操作の後で
B又はC又はDが平面に接していればn回目の操作でAが平面に
接する確率は1/3であるから、求めるPnは
Pn=Π(i=1→n-1)3*P(i)
=Π(i=1→n-1)［{1/3^(i-1)}∑(k=0→i-1){(3^k)*(-1)^(i-1-k)}］
となる。

回答No.2

matelin

こんばんは。
求める確率Ｐnを、Ｐ（ｎ）と書くことにしますと、
次の漸化式が成り立ちます。
　Ｐ（ｎ）＝（１－Ｐ（ｎ－１））＊１/３

その理由は次の通りです。
（ｎ回の操作の後に、最初に平面と接していた面が再び平面と接する）のは、
ｎ－１回の操作の後に、最初に平面と接していた面が平面と接していない場合で、
かつ、その次の操作で、最初に平面と接していた面が再び平面と接する場合に限ります。

なぜなら、ｎ－１回の操作の後に、最初に平面と接していた面が再び平面と接していれば、
その次の１回の操作によって、必ず、最初に平面と接していた面が平面と接さなくなります。
ｎ－１回の操作の後に、最初に平面と接していた面が平面と接していない確率は、
（１－Ｐ（ｎ－１））　です。
また、その次の操作によって、最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率は　１/３です。
だから、上の漸化式が成り立つわけです。

後は、その漸化式を解いて、Ｐ（ｎ）を求めれば、良いでしょう。
ちなみに
Ｐ（１）＝０　、　Ｐ（２）＝１/３　、Ｐ（３）＝２/９
ですね。これは、具体的に求めれば、出てきます。

回答No.1

alice_44

東大の入試過去問でしょう？
赤本を見れば、載っていますよ。
n の偶奇で分けて漸化式を立てるのが吉。