重責分の問題です。

質問

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2+1≦0 , 1≦z≦c ただしa>0 b>0 c>1　で表される立体の体積を求めよ。という問題が分かりません。　丁寧に解説してくださると嬉しいです。

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

z=tの平面で切った切り口は
x^2/a^2 +y^2/b^2=t^2-1
x^2/a^2・(t^2-1) +y^2/b^2・(t^2-1)=1　の楕円。
楕円の面積は公式を使わせてもらってπab(t^2-1)
これを1≦t≦ｃ　で定積分して
(1/3)πab(c-1)(c^2+c-2)

お礼

回答ありがとうございました。非常にわかりやすかったです。一点理解できないのですが、楕円の面積は公式よりとありますが、そのさいπab(t^2-1)ではなくてπab(t^2-1)^2ではないのですか？すごく単純な内容で申し訳ありません(T_T)

回答No.5

info22_

#1,#3です。

A#3の最後の因数分解形式の式の訂正

誤：=abπ(c-1)(c^2-2c+4)/3
正：=abπ{(c+2)(c-1)^2}/3

失礼しました。

回答No.4

151A48

♯２です。お尋ねがありましたので・・・
楕円の式の分母は　a^2(t^2-1)={a√(t^2-1)}^2 です。　√　が２回かかって√　がとれるだけです。
２乗にはなりません。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足質問について

>>x=au,y=bv,z=zと変数変換すると
>>D={(u,v,z)|u^2+v^2≦z^2-1,1≦z≦c}として

>>I=ab∫∫[D] dudvdz
>この式はインテグラルは二つでよろしいのでしょうか？
つまらない誤植ミスです。
I=ab∫∫∫[D] dudvdz
と訂正願います。

>また極座標変換した後に面積がπになるのがしっくりきません。

高校の教科書に回転体の体積公式が載っていませんか？
領域Dがz軸のまわりに回転対称、つまり、平面z=k(1≦k≦c)で切断した断面が半径r=√(x^2+y^2)=√(k^2-1)の円盤（円の内部及び円周）なので
z軸の回りにz=√(1+x^2)(y=0)を回転して出来る回転体の体積公式V=π∫[1,c]r^2dz=π∫[1,c] (z^2-1)dzが適用できます。
πは回転体の体積公式に由来するものです。

>u=rcosθ,v=rsinθと変数変換すると r^2=z^2-1
>I=abπ∫[1,c] (z^2-1)dz
>=abπ[z^3/3-z][1,c]
>=abπ[(c^3-1)/3 +(1-c)]
>=abπ(c^3 -3c+2)/3
=abπ(c-1)(c^2-2c+4)/3

なお、求める立体の曲面
x^2/a^2+y^2/b^2-z^2+1=0
は参考URLにある二葉双曲面（c=1の場合に相当します）

参考URL：

http://ww31.tiki.ne.jp/~suzukake-nd/zukei/niyousoukyokumen.htm

回答No.1

info22_

x=au,y=bv,z=zと変数変換すると
D={(u,v,z)|u^2+v^2≦z^2-1,1≦z≦c}として
I=ab∫∫[D] dudvdz
u=rcosθ,v=rsinθと変数変換すると r^2=z^2-1
I=abπ∫[1,c] (z^2-1)dz
=abπ[z^3/3-z][1,c]
=abπ[(c^3-1)/3 +(1-c)]
=abπ(c^3 -3c+2)/3

お礼

ご回答ありがとうございます。頭悪くて申し訳ないのですが、I=ab∫∫[D] dudvdz　この式はインテグラルは二つでよろしいのでしょうか？また極座標変換した後に面積がπになるのがしっくりきません。解説お願いします(T_T)