積分の変換の問題

質問

∫[0~1]∫[0~1-y]∫[0~1-x-y]dzdxdyを∫[0~c]∫[0~b]∫[0~a]dydzdxと変換したときのa,b,cを求めよ(x,y,z≥0)という問題がわかりません。

D=｛0≤x≤1-y,0≤y≤1,0≤z≤1-x-y｝
というところまではわかるのですかこれ以上がわかりません。
解説の方をよろしくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。
ANo.1の補足の回答
>>D={(x,y,z)|0≤x≤1-y,0≤y≤1,0≤z≤1-x-y｝...(※1)
>> ={(x,y,z)|0≦x≦1,0≦z≦1-y,0≦y≦1-x-z} ...(※2)
>上の範囲から下の範囲に変換する方法を教えていただきたいです。

基本的にはANo.1に書いた通りです。
>積分領域 Dの立体図（直角三角錐）を描いて考えると分かりやすいでしょう。
さらに詳しく説明するなら
3重積分の積分領域Ｄ（今の場合、直角三角錐）Ｄを2重積分の積分領域Ｅ1,E2,E3に直す途中の表現で、順に(※1)(E1に対応)や(※2)(E2に対応)の積分領域の表現となります。
また
D={(x,y,z)|,0≦y≦1,0≦z≦1-y,0≦x≦1-y-z}...(※3)
or ={(x,y,z)|,0≦z≦1,0≦y≦1-z,0≦x≦1-y-z}...(※4)
(E3に対応)
などとなります。
それぞれのＤの領域の3重積分をＥ1,E2,E3の領域2重積分に対応させると考えれば理解しやすいでしょう。それぞれのＤの領域図とＥ1,E2,E3の領域図（順にxy座標平面、xz座標平面、yz平面への投影になります）を図に描いてみてください。

直角三角錐領域D={(x,y,z)|x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0}
に対してDを書き変え、Ｄによる3重積分とEi(i=1,2,3)による2重積分の関係は以下のようになりますので、積分の式と描いた図と比較してみれば理解が深まるでしょう。

D={(x,y,z)|0≤x≤1-y,0≤y≤1,0≤z≤1-x-y｝...(※1)
E1={(x,y)|0≤x≤1-y,0≦y≦1} or {(x,y)|0≦x≦1,0≤y≤1-x}
I=∫∫∫[D] dxdydz=∫[0,1] dx∫[0,1-x]dy∫[0,1-x-y] dz
=∫∫[E1]{∫[0,1-x-y]dz}dxdy=∫∫[E1] (1-x-y)dxdy

D={(x,y,z)|0≦x≦1,0≦z≦1-y,0≦y≦1-x-z} ...(※2)
E2={(x,z)|0≤x≤1-z,0≦z≦1} or {(x,z)|0≦x≦1,0≤z≤1-x}
I=∫∫∫[D] dxdydz=∫[0,1] dx∫[0,1-x]dz∫[0,1-x-z] dy
=∫∫[E2]{∫[0,1-x-z]dy}dxdz=∫∫[E2] (1-x-z)dxdz

D={(x,y,z)|0≦y≦1,0≦z≦1-y,0≦x≦1-y-z} ...(※3)
E3={(y,z)|0≦y≦1,0≤z≤1-y} or {(y,z)|0≤z≤1-z,0≦x≦1-z}
I=∫∫∫[D] dxdydz
=∫[0,1] dy∫[0,1-y]dz∫[0,1-y-z] dx or =∫[0,1] dz∫[0,1-z]dy∫[0,1-y-z] dx
=∫∫[E3]{∫[0,1-x-z]dy}dxdz=∫∫[E2] (1-x-z)dxdz

お礼

詳しいご解説ありがとうございます。
難しいですがよく考えてみたいと思います。

回答No.1

info222_

I=∫[0~1]∫[0~1-y]∫[0~1-x-y]dzdxdy
>D=｛(x,y,z)|0≤x≤1-y,0≤y≤1,0≤z≤1-x-y｝
={(x,y,z)|0≦x≦1,0≦z≦1-y,0≦y≦1-x-z}
なので
I=∫[0~1]∫[0~1-y]∫[0~1-x-z]dydzdx
=∫[0~c]∫[0~b]∫[0~a]dydzdx

∴a=1-x-z, b=1-y, c=1

積分領域 Dの立体図（直角三角錐）を描いて考えると分かりやすいでしょう。

お礼

わかりやすく、回答してくださりありがとうございます。
>D=｛(x,y,z)|0≤x≤1-y,0≤y≤1,0≤z≤1-x-y｝
={(x,y,z)|0≦x≦1,0≦z≦1-y,0≦y≦1-x-z}
上の範囲から下の範囲に変換する方法を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。