不等式の証明です。ヒント下さい

質問

全ての実数xに対して
　　　sin((x^2)π）+sin(πx)<2 が成り立つことを証明せよ・・・という問題です。

さっぱりわかりません。　左辺を和積の公式で積に直すのかな？？そのあとわかりません。
y=・・・と置いて微分して不等式の証明かな？？？微分したんですがこれもさっぱり後が進みません。

何かヒントを教えて下さい。よろしくお願いします。 m(_ _)m

回答No.2

matelin · ベストアンサー

こんばんは。
この問題はそれほどむずかしくはありません。
θがどんな実数であっても、 sin θ　≦　１　ですね。
ゆえに、ｘ　がどんな実数であっても、　　sin ((x^2)π）　≦　１　　また　　sin(πx)　≦　１
上式の左辺どうしと右辺同士を加えると、　　sin((x^2)π）+sin(πx)　≦　2
が導けます。なので、問題は等号が成り立つことはありえない事を証明すれば良いだけです。

お礼

ヒントありがとうございました。微分したり・和積でやったりいろいろひねくってやってどうしようもないので困ったな？？と思ってました。単純に統合が成立しないことを示す方針で（これもちょっとてこずったんですがなんとか）解決しました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#231223

-1≦sinθ≦1

そうなると、＜２はおかしいんじゃないかな？　とも思いますが。

お礼

考えていただきありがとうございました。