物理学やコンピュータで解かれた数学の問題は？

質問

ポアンカレ予想はペレルマンによって、微分幾何学と物理学の手法を使って解かれた。
証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
四色問題は、アッペルとハーケンによって、コンピュータを利用して解かれた。
しかし、あまりに複雑なプログラムのため他人による検証が困難であることや、ハードウェアおよびプログラムのバグの可能性を考慮して、この証明を疑問視する声があった。
その後、プログラムの改良や再証明が進められており、現在、四色問題の解決を否定する専門家はいない。

とウィキペディアに書かれていました。
数学の定理の証明で、物理学の手法やコンピュータで解かれたものは他にありますか?

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

ケプラー予想って、ご存じですか？

りんごを積み上げていくときのように、１つのリンゴの回りに正六角形になるように６個のリンゴをくっつけて並べ、３つのリンゴが正三角形に並んでいる、その間の凹みに、リンゴを並べ、みたいに詰め込んでいくのが、一番、稠密に詰め込めるやり方だ、というのを、あの、ヨハネス・ケプラーが予想し、ほとんど、誰もが疑わなかった予想ですが…

結晶構造になるような、パターンの縛りを付けた上の証明は、かなり早い段階で、色々と提示されていて、段々広い範囲のパターンに適用できるような証明がされてきて、最終的に、何がしかの繰り返しパターンを持つ場合についての一般的な証明が、あのガウスによってされました。

そういう意味では、物理・化学的な意味では、ほぼ証明されたも同然で、教科書にも、平気で、六方「最密」充填構造、六方「最密」格子などと出てきていましたから、まさか、証明されてない、などと、専門家以外は思っていなかったような「予想」というか、かなり多くの人は「定理」と思い込んでいたようなものなのですが、

数学的には、あらゆるパターン、というか、繰り返しパターンがまったく出てこないようなパターンで、もっと詰め込めることがないのか、まぁ、誰も余りそんなことがあると真剣に考える人はいなかったとしても、完全に証明された訳ではありませんでした。20世紀の終わり頃に、証明された、というニュースを、新聞で読んだり、テレビで見たりして、え～、まだだったの？と思った人はかなり多かったのではないかと思います。と、書いている私もそうでした^^

このときに使われたのがコンピュータで、数値計算を使った「証明」？四色問題の「証明」なら、人海戦術で、コンピュータの出力結果をチェックするようなチェックも可能ですが、こっちだと、そういう形のチェックも難しく、今のところ、「ほぼ」(人によって、99%とか99.9%とか評価が違いますが)証明された、と言う形で認められている、というか、という形でしか認められていない、というか^^、
Wikipediaの記事のURLは、こちら、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E4%BA%88%E6%83%B3
このPDFに、ケプラー予想のまとめや、アルゴリズムの基本的な考え方の説明があります。
http://www.oishi.info.waseda.ac.jp/~oishi/lec2002/presentation.pdf
G.スピーロ著「ケプラー予想」
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E4%BA%88%E6%83%B3-%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BBG%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%BC%E3%83%AD/dp/4105454013

というか、化学や物理の教科書だと、六方最密格子などと、昔から平気で書いてあるので、え、証明されてなかったの？と思う方も多いかもしれません^^。結晶構造など、規則的なパターンとしては、これが最密なのは、証明されていたのですが、そうでなく、ただただ詰め込んだとして、これ以上に詰め込めないのか、というのは、証明されていませんでした。

お礼

丁寧なご回答に感謝いたします。

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof
にComputer-assisted proofsというのが書かれていました。

数学の問題の物理的証明(ポアンカレ予想以外)とか、また、化学的証明なんてものはあるのかがまだ気になります。

回答No.2

alice_44

「物理学的証明」というのが、何を意味するのかにもよりますが…
物理や化学といった実験科学の手法で数学の定理を証明するのは、
実験してみたら偶々反例が見つかったとかいうことでもなければ
まず不可能だと思います。実験科学で理論を実証する手続きは、
基本的に ∃x,P(x)⇒∀x,P(x) であり、数学的には正しくないからです。
ペレルマンの例の証明も、(読んでみた訳ではありませんが、)
おそらくは、物理学でよく使われる数学の理論を使って
純粋数学的な問題を解いたということに過ぎないでしょう。
雑誌などの解説記事を読むと、そのように書いてあります。
別段、物理学的手法によって証明したということではないのでしょう。

お礼

たいへん参考になりました。