微分の応用なんですが…（解析学の課題）

質問

問題は
「角材の横幅をｘcm，縦幅をｙcmとするとき、角材の強さがｘｙ^2に比例する。直径30cmの丸太から角材を作る時、強さを最大にするにはｘ，ｙをどのようにすればよいか？」
というものなんですが、これをどんな関数にしたらいいのか（何を何の関数とおくのか）見当がつきません。関数を式で表すことが出来れば微分をすることにより、増減を調べればよいのだと思いますが…。
解法が分かる方、ご教示願います。

回答No.2

KENZOU

このような拘束条件付きの極値問題はラグランジュの未定定数法というやり方が使われます。
lonely_sabotenさんが書かれているように
　x^2+y^2=30^2　　　(1)
強さを f(x)とすると
　f(x)=kxy^2　　(2)
kは比例定数。(1)の条件下でf(x)の最大値を求めるには
　φ＝kxy^2＋λ(x^2+y^2^30^2)＝０　(3)
とおいて
　∂φ/∂x＝０　　(4)
　∂φ/∂y＝０
　∂φ/∂λ＝０
の連立方程式を解けば求まります（未知数が３つで方程式も３つですから解けますね）。
ざっと求めたところx=10cmとなりましたがこれは計算間違いしているかも知れません(笑い）。確認してください。
ラグランジュの未定定数法はこのサイトでも未定定数法で検索されれば沢山見つかりますよ。例えば
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
を参照してみてください。

お礼

ありがとうございます。
微分の考えを用いることなく解けるというのは知りませんでした。この方法でも計算してみます。

回答No.1

lonely_saboten

横幅をｘcm、縦幅をｙcmとする。
直径３０cmのの丸太から角材を取り出す場合、ピタゴラスの定理から x^2+y^2=30^2 が成り立つ。(ア）式とする。

強さを f(x)とすると f(x)=kxy^2 となる。
kは比例定数。
ア式から
f(x)=kxy^2=kx(900-x^2)となる。
あとは微分して、ｘの変域に注意して最大値を求めればよいと思いますが・・・。

お礼

ありがとうございます。
ｙをｘで表せばいいんですね。やってみます。