行列の正体がわかりません

質問

高校を卒業して（理系）、春から大学に通う者です。数学の内容で、引っかかっていることがあります。

例えば、微分ではグラフの増減や凹凸を調べたり、積分では面積を求めることができます（詳しくはわかりませんが、物理学でも使うことがあると思います）

しかし、行列は連立方程式の話が登場したと思いきや、点の移動の話が出てきたりで、行列がどういうものなのか全く掴めないです。

わかる方がいましたら、ご教授願います。

回答No.8

noname#221368 · ベストアンサー

行列の理論の当初の目的は、連立1次方程式を系統的に解くためのものでした（100元でも1000元でも同じように）。で、出てきた結果を眺めると、行列は線形関数として理解すれば良いのではないか？、という話になりました。

　線形関数とは何か？ですが、とりあえず1番簡単な行列、y＝axを考えます。y＝axの傾きaは、1行1列の行列とみなせます。y＝axを関数y＝f(x)と表したとき、f(x＋z)＝f(x)＋f(z)，f(kx)＝kf(x)という性質は明らかですよね？。

　同じように、Ａを行列，ｙとxをベクトルとして、y＝Ａxを考え、y＝Ａxを一種の関数と思って、y＝f(x)で表してやれば、やはりf(x＋z)＝f(x)＋f(z)，f(kx)＝kf(x)を満たします。だってそうですよね・・・、

　　f(x＋z)＝Ａ(x＋z)＝Ａx＋Ａz＝f(x)＋f(z)　　　(1)
　　f(kx)＝Ａ(kx)＝kＡx＝kf(x)　　　　　　　　　　　(2)

ですから。

　(1)(2)を満たす、一般化された関数（大学では写像という言葉を使います）は全て、線形写像と言われます。なので行列とは、1次関数、それも原点を通る1次関数の、多次元への拡張になります。線形写像と行列は、厳密には同じではありませんが、ここでは同じと考えてOKです。

　線形写像が何故重要かと言えば、1次関数は人間が厳密に計算でき、直感的にも理解できる数少ない関数だからです。なのでこれはがっちり理論化しとくべきだと、線形代数になります。

　ところで、1次関数は直感的に理解できる、と書きました。y＝axは確かにそうです。2次元平面に直線を1本引けば、その意味は明瞭です。そうなんですよ、直感的に理解できるのは、グラフを書けるからです。

　y＝Ａxはどうでしょう？。Ａは2行2列でかまいません。xとyは2次元のベクトルです。まともにグラフを書こうとしたら、xの2次元とyは2次元分の、4次元の座標を想像する必要があります。その中に2次元の図形として埋め込まれた、y＝Ａxの形を判断する必要に迫られます。・・・無理ですよね？。

　そこで出てきた考えが、y＝Ａxを、x→yという「点の移動」とみなそうという「ものの見方」です。これなら3次元まで絵に描けますし、4次元以上でも、Ａの挙動がなんとか想像可能です。この「ものの見方」がじつは、線形代数の構築に非常に役に立ちました。

　高校数学には、大学の見慣れぬ「概念」や「ものの見方」に、高校生を慣らすという目的は、確かにあると思います。そこで全体の関連は伏せておいて、トピックだけを語るという傾向も、確かにあると思います。だからわかりにくいのかも知れません。

　個人的に重要と思えるのは、線形代数と大学の微積の関係です。微分って、関数を1点で1次関数化（線形化）する事だと思いませんか？。微分可能なら接線を引けますから。関数の極大，極小を調べるとき、導関数の符号を頼りに、傾き0で極大，極小を判断しますが、結局これは、接線の情報から引き出される結果です。ぐにゃぐにゃ曲がらない1次関数は、「理解できる」んですよ。

　そうすると次のような手順が想像可能です。関数y＝f(x)（もちろん多変数）を微分して1次関数化し、線形代数の（1次関数理論の）全面的なバックアップのもと、導関数を行列とベクトルで表して調べる。

　このような意識を持っていると、陰関数定理の内容などがピンと来ます。陰関数定理は、大学の微分の山場で、「意味良くわからん」でも有名な定理です。

　このような事を語ってくれたのは、森毅先生の本でした。