ヤコビ行列式とは？

質問

ヤコビ行列式∂（ｘ、ｙ）/∂（ｒ、θ）と
∂（ｒ、θ）/∂（ｘ、ｙ）をｘ、ｙの関数およびｒ、θの関数の2通りの式で求めたいのだが変数がたくさんある上に、偏微分の意味がいまいち分かってないのでやり方を教えてください。ヤコビ行列式ってなんですか？

回答No.5

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
ヤコビ行列式∂(x,y)/∂(r,θ)をきちんと書くと
∂(x,y)/∂(r,θ)≡｜∂x／∂r　∂x／∂θ｜　　(1)
　　　　　　　　　｜∂x／∂r　∂x／∂θ｜
ですね。ここで≡はと定義されるというような意味です。　x＝rcosθ，y＝rsinθ　　(2)
ですからｒとθでそれぞれ偏微分すると
　∂x／∂r＝cosθ，∂x／∂θ＝-rsinθ　　(3)
　∂y／∂r＝sinθ，∂y／∂θ＝rcosθ
となります。これを(1)に代入すると
　∂(x,y)/∂(r,θ)≡｜cosθ　－rsinθ｜　　(4)
　　　　　　　　　　｜sinθ　　rcosθ｜
ヤコビ行列式の値を|∂(x,y)/∂(r,θ)|と書くと
　|∂(x,y)/∂(r,θ)|＝rcos^2θ＋rsin^2θ＝r　(5)
＞∂(r,θ)/∂(x,y)が何故行列式になるんですか？計算方法が読んでも理解できませんでした。
(4)式より
　∂(r,θ)/∂(x,y)＝{∂(x,y)/∂(r,θ)}^-1
　　　　　　　　　＝｜cosθ　－rsinθ｜^-1
　　　　　　　　　　｜sinθ　　rcosθ｜
　　　　　　　　　＝(1/r)×
　　　　　　　　　　　｜rcosθ　－sinθ｜　　(5)
　　　　　　　　　　　｜－sinθ　　cosθ｜　
ここで逆行列の計算方法を使いました。これについては適当な線形代数のテキストを参照してください。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=725812

補足

かなり分かってきました。ありがとうございます。問題の答えは　
ｒ　と　√（ｘ＾2＋ｙ＾2）　　
cosθ＾2－sinθ＾2　と　？？？？？？（どうやったらx,yだけになるんでしょう？）

回答No.8

KENZOU

＃5のKENZOUです。
(5)式の右辺が間違っていました（笑い；）。正解は
∂(r,θ)/∂(x,y)＝(1/r)×
　　　　　　　　　｜rcosθ　rsinθ｜
　　　　　　　　　｜－sinθ　cosθ｜
　　　　　　　　＝｜　cosθ　　　sinθ｜
　　　　　　　　　｜－sinθ/r　cosθ/r｜
　　　　　　　　＝1/r
　　　　　　　　＝1/√(x^2+y^2)

お礼

答えはこうなると思いますが、どう考えても2段目のイコールはおかしいと思います。でも非常によくわかりました。有難うございます。

補足

1じゃないんですか？
あれ？そうするとx、yであらわせなくなるか・・・

回答No.7

keyguy

外積はスカラー量だから:
外戚はベクトル積とも言いベクトルです。

外戚を使って趣旨を今回のように誤って取られることを反省し通常の図形の面積の差し引きで最解凍したのです。
だから外積のことはなかった事にしたほうがよさそうです。外戚の大きさの計算もはじめは結局図形の差し引きから出したものだから。

お礼

親切に有難うございました。なんか間違いだらけ・・・ｗ。外積慣れてないのです。物理とかで例えばローレンツ力とか出す時とか使えないと不便ですよね・・・って聞くとかなり脱線してしまうので、そのうち改めて質問すると思います。非常にいい収穫がありました。勉強になりました。感謝しています。

回答No.6

keyguy

平行四辺形の面積：
４頂点が
(0,0),(a,b),(a+A,b+B),(A,B)
である並行四辺形の面積は大きな長方形から4つの三角形の面積と2つの長方形面積を引けば求まり
(a+A)・(b+B)-a・b/2-A・B/2-A・B/2-a・b/2-A・b-A・b
=a・B-A・b
これと同じようにして平行四辺形ABCDAの面積を求め補足に書くように。

dx,dyってくくっちゃっていいんですか？：
勿論かまいません。dxはΔxをできる限り小さいものとして抽象化しただけの存在です。通常の実数（状況によっては複素数）として扱ってかまいません。

偏微分は順序を簡単に入れ替えるには条件がいる：
(1)fxとfyとfxyが存在してfxyが連続ならばfyxが存在してfxy=fyxである。(シュワルツの定理）
(2)fxとfyとfxyとfyxとfxxとfyyが存在すればfxy=fyxである。(ヤングの定理)

dxdyをdy・dxにしたりしていいのですか？：
dxdyと書けばdxdyという1つの実数と言う五階を受ける可能性があります。本当はd(x)・d(y)と書いたほうが言いのですが煩雑になるのでdx・dyで妥協したのです。
掛けて言いというよりも掛けているのです。
リーマン積分の微小分割分の抽象化ですから。

x＾2dxをdxx＾2：
x^2・d(x)=d(x)・x^2は正しいのです。
実数の積の入れ替えは実数の公理から許されています。
d(x)が実数(変数)の微小分の抽象化であることを思い出してください。

∂(r,θ)/∂(x,y)ってことになるのですか？：
あなたにあわしただけでこの表記ははじめてみました。
d(r,θ)/d(x,y)をヤコビの行列としたとき
∂(r,θ)/∂(x,y)=|d(r,θ)/d(x,y)|
ですね？

補足

かなり分かってきました。非常に感謝しています。偏微分はとりあえず積の入れ替えに注意して単なる微分のほうは大概意識する必要がないってことですね。

平行四辺形に関しては、私なんかむちゃくちゃ書いてありますね。訂正します。外積はスカラー量だから
(∂r/∂x・dx）・(∂θ/∂y・dy)
－(∂r/∂y・dy）・（∂θ/∂x・dx)となるのですか？
もしこれがただしければ、dxdyをくくって、
中身が(∂r/∂x）・(∂θ/∂y） －(∂r/∂y）・（∂θ/∂x)ということですね？

回答No.4

keyguy

文脈から分かると思いますがdとDが抜けていたのでもう一度再送します。他の間違いは放置します。

ｄｒ＝∂ｒ／∂ｘ・ｄｘ＋∂ｒ／∂ｙ・ｄｙ
ｄθ＝∂θ／∂ｘ・ｄｘ＋∂θ／∂ｙ・ｄｙ
だから
(x,y)座標上長方形上
a:(x,y)
b:(x+dx,y)
c:(x+dx,y+dy)
d:(x,y+dy)
としたとき
長方形abcdaは(r,θ)座標上では
A:(r,θ)となり
B:(r+∂r/∂x・dx,θ+∂θ/∂x・dx)
C:(r+∂r/∂x・dx+∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂x・dx+∂θ/∂y・dy)
D:(r+∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂y・dy)
としたとき平行四辺形ABCDAになる。
その面積Sは図から計算して
J=∂(r,θ)/∂(x,y)(行列式)とするとS=|J|・dxdyとなる。

このことから
∫∫h(r,θ)・dr・dθ・・・(1)
は
∫∫h(r(x,y),θ(x,y))・|J|・dxdy・・・(2)
という風に(r,θ)→(x,y)に変数変換される。
(1)の積分範囲の分割は微小長方形である。
(2)の積分範囲の分割は(x,y)領域へ変換したときに微小長方形になるような微小平行四辺形である。

回答No.3

keyguy

補足と質問の内容が余り関係無いので質問だけについて修正を兼ねて補足すれば

ｄｒ＝∂ｒ／∂ｘ・ｄｘ＋∂ｒ／∂ｙ・ｄｙ
ｄθ＝∂θ／∂ｘ・ｄｘ＋∂θ／∂ｙ・ｄｙ
だから
(x,y)座標上長方形上
a:(x,y)
b:(x+dx,y)
c:(x+dx,y+dy)
d:(x,y+dy)
としたとき
長方形abcaは(r,θ)座標上では
A:(r,θ)となり
B:(r+∂r/∂x・dx,θ+∂θ/∂x・dx)
C:(r+∂r/∂x・dx+∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂x・dx+∂θ/∂y・dy)
D:(r+∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂y・dy)
としたとき平行四辺形ABCAになる。
その面積Sは図から計算して
J=∂(r,θ)/∂(x,y)(行列式)とするとS=|J|・dxdyとなる。

このことから
∫∫h(r,θ)・dr・dθ・・・(1)
は
∫∫h(r(x,y),θ(x,y))・|J|・dxdy・・・(2)
という風に(r,θ)→(x,y)に変数変換される。
(1)の積分範囲の分割は微小長方形である。
(2)の積分範囲の分割は(x,y)領域へ変換したときに微小長方形になるような微小平行四辺形である。

補足

平行四辺形の面積
＝｜(∂r/∂x・dx+,∂θ/∂x,0)ｘ(∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂y・dy,0)｜＝|0,0,(∂r/∂x・dx）・(∂θ/∂y・dy)
－C:(∂r/∂y・dy）・（∂θ/∂x・dx)｜となるのですか？dx,dyってくくっちゃっていいんですか？偏微分は順序を簡単に入れ替えるには条件がいると本に書いてあったのですが、dxなどの微分要素はくくったり、dxdyをdy・dxにしたりしていいのですか？掛け算のように・・・。x＾2dxをdxx＾2とやってはまずいと思うのですが・・・・。
これの中身が∂(r,θ)/∂(x,y)ってことになるのですか？これがどうして行列式になるのですか？

回答No.2

KENZOU

このサイトのココもご参考まで。
　　　↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=633126

補足

∂(r,θ)/∂(x,y)が何故行列式になるんですか？計算方法が読んでも理解できませんでした。

回答No.1

keyguy

ヤコビアンの意味：

ｄｒ＝∂ｒ／∂ｘ・ｄｘ＋∂ｒ／∂ｙ・ｄｙ
ｄθ＝∂θ／∂ｘ・ｄｘ＋∂θ／∂ｙ・ｄｙ
だから
(x,y)座標上正方形
(x,y)-(x+dx,y)-(x+dx,y+dy)-(x,y+dy)-(x,y)
の各頂点は
(r,θ)座標上では
(x,y)→(r,θ)となり
(x+dx,y)→
(r+∂r/∂x・dx,θ+∂θ/∂x・dx)
(x+dx,y+dy)→
(r+∂r/∂x・dx+∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂x・dx+∂θ/∂y・dy)
(x,y+dy)→
(r+∂r/∂y・dy,θ+∂θ/∂y・dy)
であり平行四辺形になる。
その面積Sは外積を利用すれば簡単に求まり
S=|∂(r,θ)/∂(x,y)|・dxdy
となる。
（∂/∂を行列式としているから｜・｜は行列式でなく絶対値であることに注意）

だから重積分のときこの重みを付けなければならない。

補足

次の（ｘ、ｙ）－空間の領域Ｄを極座標に変換した（ｒ、θ）－空間の領域Ｄ’を求めて図示したい。
　a>0,b>0を正数とする。
Ｄ＝｛（ｘ、ｙ）｜0≦ｘ≦a,0≦ｙ≦ｂ｝

正方形が平行四辺形になるってことですか？でも
0≦ｘ≦a,0≦ｙ≦ｂとあります。そういった場合ドコに気をつければいいのかという事で困ってます。

　つぎの（ｒ、θ）－空間の領域Ｅ’を直交座標に変換した（ｘ、ｙ）―空間の領域Ｅを求めて図示したい。

Ｅ’＝｛（ｒ、θ）｜π/3≦θ≦π/４、０≦ｒ≦１/(cosθ+sinθ)
これも上が解ければ解けるのではないかと思ってます。もし、まったく違うのであれば、注意していただけると幸いです