高次方程式の解の値と2次方程式の値を求める方法
- 数学II・Bの高次方程式について解答解説して頂きたいです。f(x)=x^3-3x+1とおき、3次方程式f(x)=0の解の1つをαとする。また、2次方程式x^2-ax+1=0の解の1つをβとしています。具体的に、(1) f(α^2 -2)の値、(2) (β^3)+(β^-3)の値を求める方法が知りたいです。
- まず、(1)の解き方ですが、f(α)=α^3-3α+1=0となるので、{f(α)}^2=0となります。したがって、f(α^2 -2)-{f(α)}^2を計算すると -2(α^3-3α+1)となり、結果としてf(α^2 -2)=0となります。この解き方は一つの方法ですが、もっと普通に解く方法があるのかどうかを知りたいとのことです。
- 次に、(2)の解き方ですが、2次方程式の解βを使って(β^3)+(β^-3)の値を求めたいとのことです。具体的な解法は質問文には書かれていませんので、解説して頂けると嬉しいです。
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数学II・B 高次方程式 解答解説して頂きたいです
f(x)=x^3-3x+1 とおき, 3次方程式 f(x)=0 の解の1つをαとする。 (1) f(α^2 -2) の値を求めよ。 (2) 2次方程式 x^2-ax+1=0 の解の1つをβとするとき (β^3)+(β^-3) の値を求めよ。 ちなみに(1)は解けたかもしれません。 f(α)=α^3-3α+1=0・・・☆ となるので, {f(α)}^2=0 したがって f(α^2 -2)-{f(α)}^2 を計算すると -2(α^3-3α+1) となり ☆より f(α^2 -2)-{f(α)}^2=f(α^2 -2) =0 でもこの解き方はまともな解き方なのでしょうか? もっと普通に解く方法があったりしないでしょうか? このことも併せて回答頂けると嬉しいです。
- ienz
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(2)あなたの解き方でも間違えではありませんよ。 α^3 =3α-1 を次数下げにつかいます。α^2=(3α-1)/α ∴α^2 -2=(α-1)/α として代入するのも1つの手でしょう。 (2) (1)と関係ないみたいですね。 β^2-aβ+1=0 より a=β+(1/β) β^3 + ( β^-3 )=(β+1/β)^3 -3(β+1/β)=a^3 -3a
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