立法数=立法数×立法数

質問

複素数の範囲で、立法数=立法数×立法数が成り立つ理由を教えて下さい。
オイラーがフェルマーの最終定理n=3の証明で用いた定理みたいなのですが…。

回答No.3

muturajcp

(Th)
素因子分解の一意性の成り立つ
環Riに対して
A∈Ri
B∈Ri
A,Bは互いに素
(AB)^{1/3}∈Ri,(ABが立方数)ならば
(Aε)^{1/3}∈Ri,(Aεが立方数)
(B/ε)^{1/3}∈Ri,(B/εが立方数)
ε∈Ri
1/ε∈Ri
となるRiの単数ε
が存在する。

Ri=Z=(全整数)とすると
フェルマーの最終定理n=3は
x^3+y^3=z^3のx,y,zはRi-{0}の範囲で解を持たない
となります。

ここで
Riを(全実数)または(全複素数)に拡張して
(Th)が成立したとしても、
1^3+1^3=2=(2^{1/3})^3
x^3+y^3=z^3のx,y,zはRi-{0}の範囲で解を持ち
フェルマーの最終定理n=3が成立しないので、
(Th)を
フェルマーの最終定理n=3の証明で用いることはできません。

整数環Zに対して
虚数√-3を付加した拡大環を
Z(√-3)={t+u√-3|t∈Z,u∈Z}
A=2+2√-3∈Z(√-3)
B=1-√-3∈Z(√-3)
とすると
A,Bは互いに素
AB=(2+2√-3)(1-√-3)=8=2^3=立方数だけれども
A^{1/3}はZ(√-3)に属さない,(Aは立方数でない)
B^{1/3}はZ(√-3)に属さない,(Bは立方数でない)
これは
4=2*2=(1+√-3)(1-√-3)
のように
4が2通りの素因子分解を持つため
Z(√-3)では素因子分解の一意性が成り立たないため
(Th)を用いることはできません。

(Th)を用いることができないZ(√-3)で
a^2+3b^2=(a+√3ib)(a-√3ib)=立方数で
(a+√3ib)と(a-√3ib)が互いに素
だから(Th)を用いて
a+(√3)ib=(t+√3iu)^3
a-(√3)ib=(t-√3iu)^3
となる整数t,uが存在するとしてしまった
(補正前の)オイラーの証明は誤りです。

(Th)を用いないで
a+(√3)ib=(t+√3iu)^3
a-(√3)ib=(t-√3iu)^3
となる整数t,uが存在する事は結果的にはいえますが、
それを示すためには長い証明が必要となります。
従って、
(Th)を用いないで
a+(√3)ib=(t+√3iu)^3
a-(√3)ib=(t-√3iu)^3
となる整数t,uが存在する事の証明を省略した
(補正前の)オイラーの証明は誤りです。

Wikipediaフェルマーの最終定理の
n=3:オイラー
オイラーの証明は～不備があったので、のちに補正された。
とありますが、
現在ネット上に公開されている
フェルマーの最終定理n=3の証明のほとんどが
補正前のオイラーの誤った証明を
補正後の証明であるかのように偽装していて、
本当の補正後の証明が見当たりません。
補正後の証明は次のように全面補正となります。
(長文のため1部省略します)

整数環Zに対して1の3乗根
ω=(-1+√-3)/2
を付加した拡大環を
Z(ω)={j+kω|j∈Z,k∈Z}
とすると
Z(ω)では素因子分解の一意性が成り立つ。
だから
Z(ω)の範囲で(Th)が成り立つ。

S_0={(x,y,z)|x^3+y^3=z^3,x,y,zは自然数}

自然数mに対して,
S(m)={(x,y,z,ε)|
x^3+y^3=ε[(√-3)^{3m}]z^3
,xyz≠0
,x,y,z,√-3はZ(ω)で2つずつ互いに素
,εはZ(ω)の単数}
とする

(補1)Z(ω)∋ξ≠0(mod√-3)の時→ξ=±1(mod9),(証略)

(補2)S_0≠φの時→S(m)≠φとなる自然数mが存在する,(証略)

(定理)S_0=φ
証)
S(m)≠φとなる自然数mが存在すると仮定すると
(x,y,z,ε)∈S(m)がある
x,y,z,√-3はZ(ω)で2つずつ互いに素だから
(補1)から
x^3+y^3=0(mod9),(証略)
m=1のとき
0=x^3+y^3=ε(-3√-3)z^3≠0(mod9)
と矛盾するから
S(1)=φ

m≧2のとき
S(m-1)=φと仮定する
x^3+y^3=(x+y)(x+yω)(x+yω^2)=ε[(√-3)^{3m})z^3…(1)
(√-3)^{3m}(m≧2)が因数x+y,x+yω,x+yω^2の間に分配されなければならない。
因数のどれかは√-3の倍数となる
x+yω=(x+y)-yω^2√-3
x+yω^2=(x+yω)ω+xω^2√-3
だからx+y,x+yω,x+yω^2のいずれも√-3の倍数となる
因数のどれか2つが3の倍数と仮定すると
x,yが√-3の倍数となって
x,yが互いに素に矛盾するから
因数のどの2つも3の倍数となる事はない。
x+yω=0(mod3)のときはyωとyを交換し
x+yω^2=0(mod3)のときはyω^2とyを交換すれば、
x+y=0(mod3)
となって
x+y=[(√-3)^{3m-2}]κ……………………(2.1)
x+yω=μ√-3……………………(2.2)
x+yω^2=ν√-3……………………(2.3)
κ,μ,ν,√-3は2つずつ互いに素となる
κ,μ,ν∈Z(ω)がある,

(1)と(2.1)(2.2)(2.3)から
κμν=εz^3
だからZ(ω)での素因子分解の一意性から
κ,μ,νはそれぞれ立方数又は立方数の同伴数となる
κ=ε1α^3
μ=ε2β^3
ν=ε3γ^3
β,γ,α,√-3は2つずつ互いに素で,ε1,ε2,ε3は単数となるものがある
これと(2.1)(2.2)(2.3)から
x+y=ε1[(√-3)^{3m-2}]α^3
x+yω=ε2(√-3)β^3
x+yω^2=ε3(√-3)γ^3
だから行列式
|1,1,-ε1[(√-3)^{3m-2}]α^3|
|1,ω,-ε2(√-3)β^3|
|1,ω^2,-ε3(√-3)γ^3|
=0
だから
β^3+(ωε3/ε2)γ^3=(-ω^2ε1/ε2)[(√-3)^{3(m-1)}]α^3
だから
δ=ωε3/ε2
ε'=-ω^2ε1/ε2
とすると
β^3+δγ^3=ε'[(√-3)^{3(m-1)}]α^3
β,γ,√-3は2つずつ互いに素でm>1だから(補1)から
±1±δ=0(mod-3√-3)
δは±1,±ω,±ω^2のどれかだから
δ=±1
γとδγを交換すると
β^3+γ^3=ε'[(√-3)^{3(m-1)}]α^3
となる単数ε'がある。
だから
(β,γ,α,ε')∈S(m-1)
S(m-1)=φに矛盾するから
S(m)=φ
∴任意の自然数mに対して
S(m)=φ
(補2)からS_0=φ

回答No.2

Tacosan

おっと, 本質的に重要なことを 1つ忘れてた.

前の質問
http://okwave.jp/qa/q7329704.html
の時点では (実は気づいていつつ) 無視してたんだけど, この命題は
1つの立法数を 2つの因数に分けたときに,「どのように分けてもそれぞれの因数が立法数である」ことまでは保証していない
と指摘しておきましょう.

まあ「実数の範囲」であっても「『立法数』とは何ぞや」を決めておかないとダメだけどね. 任意の実数が実数の範囲に (1個の) 3乗根を持つけど, だからといって
任意の実数が立法数だ
と言われたら困る (というか, オイラーの証明に結びつかない) んじゃない?

回答No.1

Tacosan

「複素数の範囲」と言っちゃうと, 「立法数」というものから定義しないとだめ. たとえば 「π^3 は『立法数』だ」って言われて, あなたはうれしいですか?

「オイラーがフェルマーの最終定理n=3の証明で用いた定理」で分かってほしいのかもしれんけど, それはちょっと乱暴すぎ. 最低限「どういう数の範囲で考えているのか」は明確にしておかないと.

お礼

すみません。
勘違いしていました。
実数の範囲だと、どうなるのでしょうか？