素数定理とは？
- 素数定理では、大きな値Nに対して近似値ではなく正確な個数π(N)を求める式は存在しない。
- 素数定理はNが非常に大きくなると、左辺と右辺の差が大きくなることがある。
- しかし、Nが無限大に近づくと、左辺と右辺の差は無限小になり、「≒」が「＝」となる。
- ベストアンサー
素数定理では満足できない
π(N)≒N/logN この素数定理、今もって、極めて有名・有意義な式らしいですね。 例えばN=100万のとき、左辺は78,498、右辺は72,382・・・だそうです。結構誤差がありますね。 しかし、この素数定理は、Nがとてつもなく大きくなると、極端に言えば無限大だとすると、「≒」が「＝」となる、と言っているんでしたよね。すばらしい発見です。 が、裏を返せば、無限大まではいかないけどとてつもなく大きなN、例えば10の1億乗までには何個の素数があるかとなると、やはり上式による限りは近似値しか得られません。 そこで質問ですが、いかなる大きさであろうとも、有限の値Nに対し、近似値ではなく正確な個数π(N)を表す式は発見されていないのでしょうか。
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- ta20000005
- ベストアンサー率46% (30/64)
二番目の方の回答を見て、ちゃんと意味のあるリーマンの素数公式や明示公式の類を忘れていたなあと。 リーマンの素数公式は証明されている正確な式です。ただし、ζ関数の非自明な零点(あのリーマン予想に出てくる例のやつです)すべてがわからないと、正確な計算ができません。なので、実際の計算ではζ関数の零点100万個をとりあえず使って近似計算みたいになるわけです。が、まさにおっしゃった「コロンブスの卵」的な私が書いた式よりははるかに本質的であり、意味のある公式です。 ついでにコロンブスの卵はたくさんありますので、せっかくだからもうひとつ。 2以上のnについて、 π(n) = Σ{k=2,n}[1/(Σ{i=1,k-1}[[n/i]/(n/i)]] (例によって[ ]はガウス記号) 素数の定義しか使っていませんので、本当に役に立ちません(笑)。
お礼
二つ目の卵、ごちそう様です。 ところで、問題についての認識を確認しておきたいのですが、私の疑問は、無限でないNに対し、 π(N)≒ ではなく、 π(N)＝ となる式があるのかどうかということなんです。"コロ玉"ではなく。 >ζ関数の非自明な零点(あのリーマン予想に出てくる例のやつです)すべてがわからないと、正確な計算ができません。 ↑ 従って、『π(N)＝云々、となる式がない』というわけではありませんよね。 （蛇足）「リイマン」と「コロ玉」って、何が違うんだろ。片や"本質的"、片や"本質的でない"・・・？？。
- Water_5
- ベストアンサー率17% (56/314)
それに関連して 素数は無限個存在することが証明されている。 個数を表す式が以下として π(N)＝？「＋＋＋」・√ 右辺の式はやはり、N－－－＞∞の時 無限大に発散する式なんだろうな。
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 >右辺の式はやはり、N－－－＞∞の時無限大に発散する式なんだろうな。 ↑ 三段論法からすれば当然仰せのとおりかと（素数が無限に存在することの証明は、自然数が無限に存在することの証明と同程度に易しい）。 ちなみに、#1,#2回答者様ご紹介の式は、私のような素人には、発散するか否か判定不可能です。
- ta20000005
- ベストアンサー率46% (30/64)
たくさん見つかっています。一例ですが π(n) = -1+Σ{k=1,n}[(((k-1)!+1)/k)-[(k-1)!/k]] []はガウス記号 ただし、役立つような意味のあるものや、簡単に計算できるようなものは、知る限りはありません。今書いた式もエラトステネスの篩で直接数えた方が早いくらい効率の悪い式です。
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 >-1+Σ{k=1,n}[(((k-1)!+1)/k)-[(k-1)!/k]] ↑ ガウス記号はどこにあるのでしょうか？。
補足
ガウス記号は「[」と「]」の対だったんですね。失礼しました。画面では「[]」という四角形にしか見えなかったものですので・・・。ガウス記号って学校で習ったはずなのにすっかり忘れていました。要するに、excelでいう「int関数」ですよね。 ご紹介の式は、リーマン関数などを用いたややこしい式と違って、整数を1個1個足していく感じで、身近には感じますよね。これがリーマンの式と同等なんて、とても思えません。神秘的です。 いずれにしても、同じπ(N)であっても全く別の式が存在することは不思議としか言いようがありません。 ちなみにこの式って、Kが素数のときの項は１で合成数のときの項は０となるように仕組んであるみたいですね。巧妙です。"コロンブスの卵"ですねぇ。そして「１」を素数から除く配慮までしてあるなんて・・・。 ※しかし、つらつら考えると、この式って、2からNまで１個づつシラミ潰しに素数か否か調べているのと同等で、やはり"コロンブスの卵"ですなぁ。
関連するQ&A
- 2^o(logn)・o(logn)=o(n^1/3
以下ののような式が現在読んでいるものにかかれています。 2^o(logn)・o(logn)=o(n^1/3) このような式がなぜ成立するのかわかりません。元々右辺は求まっていなくて左辺から右辺を導き出すみたいなのですが、どうしてこのようになるのかわかりません。 ご存知のかたや、おそらくこうではないかと思う方は、ご回答のほどよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- はさみうちの定理を使う極限の問題です。
lim(n→∞) n*sin(π/n) の極限値を求める問題で、はさみうちの定理を使って解くことを考えたのですが ≦ n*sin(π/n) ≦ n*π/n となり、右辺の数式は見つけられたのですが、左辺に最適な数式が見つけられずにいきずまっています。答えは、πになるそうなのですが、その過程が分からなくなったので、質問させていただきました。宜しければ、ご回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理についての質問です。
◎わからないこと◎ 二項定理 (a+b)^n=nC0・a^n+nC1・a^(n-1)・b…+nC(n-1)・a・b^(n-1)+nCn・b^n を用いて証明する問題で ↑の二項定理のある項から以下を ばっさり切り捨てて≧…みたいにする 問題がありますよね。 例えば (1+h)^n>1+nh^2など…。 これってこの不等号に＝がついていた場合 等号が成り立つのは (左辺のｎ)＝（右辺の項数-1） のときであっていますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラーの定理を出来るだけ簡単に教えていただけない
応用情報技術者 平成21年春期 午前問2 (1+α)nの計算を、1+n×αで近似計算ができる条件として、適切なものはどれか。 ア |α|が1に比べて非常に小さい。 イ |α|がnに比べて非常に小さい。 ウ |α÷n|が1より大きい。 エ |n×α|が1より大きい。 テイラーの定理？で展開できるとの事ですが テイラーの定理が分かりません 出来るだけ簡単に教えていただけないでしょうか 数学は苦手です、お願いいたします
- 締切済み
- 情報処理技術者
- 数学的帰納法について
(1+2+・・・+n)^2 = 1^3 + 2^3 + ・・・ + n^3 を数学的帰納法で証明するのですが、 n=1のとき、 1=1で左辺＝右辺。 n=kで成り立つとしたとき、 n=k+1のとき、左辺 - (1+2+・・・+k)^2 = k^3 = (k+1)^3 を求めてみようとしたのですが、 式変形がうまくいきません。 どうかご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双子素数予想の類似、算術級数定理の類似
素数を小さい順にp(1),p(2),,,とします。 {p(m)-p(n)|m>n}、 {p(m)+p(n)|m≦n}、 {p(m)+p(n)|m＜n}、 {p(n+1)-p(n)|nは自然数}、 {p(n+1)+p(n)|nは自然数}、 などを考えます。 目的は、素数に関する様々な定理や予想をそれらで言い換えたいのです。 双子素数は無限個ある（双子素数予想） ⇔{p(n+1)-p(n)|nは自然数}において、p(n+1)-p(n)=2となるnは無限個 ♯そうすると疑問に思うのは、 たとえば{p(n+1)-p(n)|nは自然数}のある偶数の元について、それを満たすnが有限個のものは存在するのでしょうか？ 初項aと公差dが互いに素であるような等差数列のなかに素数が無限に存在する(算術級数定理) ⇒{p(m)-p(n)|m>n}において、p(m)-p(n)="dの倍数"となる(m,n)は無限個 ♯そうすると疑問に思うのは、 たとえば{p(m)+p(n)|m>n}において、p(m)+p(n)="dの倍数"となる(m,n)は無限個でしょうか？ ♯これはd=2であれば明らかに正しそうです。 d=3とかのときはどうなのでしょう？ ♯さらに、2つの合成数の差の集合、または、和の集合とかを考えたときに、成り立つ定理、予想される事実はあるのでしょうか？ ♯こういった言いかえができる定理とかは他にありますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法
今高校で数学的帰納法をやっているんですが、模範解答を見ても解き方がわからない問題があります。 お力貸してください。 nを自然数とするとき、数学的帰納法によって次の等式を証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)……(2n)＝2のn乗×1×3×5×……×(2n－1) 模範解答・・・ [１]n＝１のとき、左辺＝1+1＝２、右辺＝２ より成り立つ。 [２]n＝kのとき与式が成り立つと仮定すると、 (k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)＝2のn乗×1×3×5×……×(2k－1) ------------------------------------------------------------ ここまでは分かります。以下がわかりません。 この両辺に〔(k+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕を乗じると、（なんでここでこれを乗じるんですか??） 左辺＝(K+1)(K+2)(K+3)…(K+K)〔(K+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕 （以下こんな感じです） 右辺＝・・・・・ k+1≠0より左辺と右辺を(K+1)で割ると、これはn＝k+1のときにも与式が成り立つことを示している [１][２]よりすべての自然数nに対し与式は成り立つ。 途中からがよくわかりません。分かる方いらしたら教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 π(N)は勿論自然数です。 R(x)は恐らく整数なんかではありませんよね。 このような超越数か無理数か訳の分からない項を加減した結果が整数になるなんて、「神秘」としか言いようがありません！。 こんな式を発見できた人は「人間じゃねぇ！」！。