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- alice_44
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質問の条件では、独立とは限りません。 x, y の一方が 0ベクトルであれば、 x, y は直交、かつ、x+y, x-y は従属 になるからです。 「直交」の定義を、教科書で確認してください。 x, y は 0ベクトルでない という条件が 付いているのであれば、 A(x+y)+B(x-y)=0 のとき、 A(x+y)+B(x-y) と x との内積をとって A+B=0、 y との内積をとって A-B=0 が判るから、 A=B=0 が言えて、独立が示せます。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
x と y は直交なので一時独立。つまり ax+by=0 のとき a=0, b=0 (1) c(x+y)+d(x-y) = (c+d)x + (c-d)y=0 だから 最初の (1) より c+d=0, c-d=0 → c = d = 0 →x+y, x-y は一次独立。
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- titaniumcation
- ベストアンサー率66% (2/3)
背理法で証明する もしx+yとx-yが一次独立でないと仮定したら x+y=k(x-y)となる実数kが存在する このときy=((k-1)/(k+1))xとなりxとyは平行であり、直交することに矛盾する
お礼
ありがとうございました
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
ｘ，ｙが直交していればｘ，ｙは１次独立。 もし，ｘ＋ｙ，ｘ－ｙが１次従属なら ｘ＋ｙ＝ｋ（ｘ－ｙ） ：ｘ，ｙはベクトル，ｋはある実数と読んで下さい。 すると （１－ｋ）ｘ＋（１＋ｋ）ｙ＝０ １－ｋと１＋ｋは同時に０になれないので，ｘ，ｙが１次独立であることに反する。 ∴ｘ＋ｙ，ｘ－ｙは１次独立。
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