共通因数の括り出し方

質問

• 質問文章では、多項式Pを共通因数を括り出す方法についての疑問が述べられています。
• 質問者は、Pをtで表現するために共通因数を括り出す方法を試みましたが、行き詰まってしまったようです。
• Pをx^2－3xで割る発想が理解しづらく、割るやり方に難しさを感じているようです。

回答No.3

WiredLogic

＞P=x^2(x^2－3x)+7x^2+6x－8
＞と共通因数を括り出し
＞=tx^2+7x^2+6x－8
＞として考えようとしたのですが、ここで行き詰ってしまいました・・・

最初で計算が間違っていて、続きをやれば、

P = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8
= x^2(x^2-3x) - 3x^3 + 7x^2 + 6x - 8
= tx^2 - 3x(x^2-3x) - 2x^2 + 6x - 8
= tx^2 - 3tx - 2(x^2 - 3x) - 8
= t(x^2 - 3x) - 2t - 8 = t^2 - 2t - 8

または、

t = x^2 - 3x ⇔ x^2 = t + 3x から、
x^4 = t^2 + 6tx + x^2 = t^2 + 6tx + (t+3x) = (6t+3)x + t^2 + t、
x^3 = x*x^2 = x(t + 3x) = tx + 3x^2 = tx + 3(t+3x) = (t+9)x + 3t なので、
P = {(6t+3)x + t^2 + t} - 6{(t+9)x + 3t} + 7(t+3x) + 6x - 8
= …

のようにして計算していくこともできますが、
(どっちにしても、要するに、何とかして、tで表すことで、xの次数を下げていく)

面倒だし、行き当たりばったりっぽい、という気がしませんか？
模範解答の割り算を使うやり方の方が、簡単ですよね？

「割る」という発想が難しいのは、
なぜここで「割り算」なのかが
解りにくいからだと思いますが、

最初から割ることを考える訳じゃなく、
Pは４次式だから、
P = (x^2-3x)(xの２次式) + xの１次式
という形にできると、もっと簡単になるんだけどなぁ、
と考えると、あ、割ればいいんだ、
というのは、自然に出てきそうに
思えませんか？

解法は、覚えるものでなく、できれば、自分で作るもの、
覚えるときでも、形を覚えるのではなく、
なぜ、そうするのか、そうすると具合がいいのか、
という、解法の心を見つけて、それを理解し、
身に付けることが大事です。
(でないと、結局覚えきれなかったり、現場で
使えなかったり、応用がきかなかったりする)

その心は、どこが難しいんだろう、どこが
違っていれば、簡単になるんだろう、という
ようなことを考えると、見つかりやすく、
特に、こうなってれば簡単なのになぁ、
そうできないかなぁ、という、虫のいいこと^^
を考えることが、決め手になるものもあります。

すべて自分の思ったようにいくと考えるのは、
間違っているとしても、何らかの方向で、
自分の都合のいい方向にひっぱっていかないと
答なんか出せるはずはない、ということには
間違いはありません。

模範解答などは、暗記するというより、その方向へ
向かうための道しるべとして、上手に使いましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞(どっちにしても、要するに、何とかして、tで表すことで、xの次数を下げていく)
たしかにそうですよね。。。
なんか自分が勘違いというかなんなのかは分かりませんが、
問題文は
「Pをtで表せ」
なんですけど、本当に都合良く^^;　tだけ（xを残さず）で表せるのか疑念が心のどこかにあって、
だからx^2－3xで割ることを完全に良しとすることができなかったのです・・・
まあもしtだけで表せないなら、そもそもそんな問題を出さないですもんね^^;

＞(でないと、結局覚えきれなかったり、現場で使えなかったり、応用がきかなかったりする)
身にしみてます・・・
たしかに特に数学は本質を理解してないと、ちょっと捻った問題が出ただけで駄目ですもんね。。