体F上のn次方程式の因数分解

質問

体F上のn次方程式の因数分解

有限体に関する次の問題を解きました。

[問] p(x)=x^3+x+1 を Z3 上の多項式として因数分解せよ。

この問題を筆算で以下のように解きました。

p(1)=0よりp(x)は因数(x-1)を持つ。
x^3を消すために、(x-1)にx^2をかけたものを引くと、x^2が残る。
xを下ろしてきて、x^2+xを消すために、(x-1)にxをかけたものを引くと、2xが残る。
1を下ろしてきて、2x+1を消すために、(x-1)に2をかけたものを引くと、3が残る。
Z3上の多項式より、3≡0(mod 3)であるから、割り切れた。
したがって、
p(x) = (x-1)(x^2+x+2)

しかし、手元にある解答を見ると、
p(x)=x^3+x+1 = x^3－2x+4 = (x^2－2x+2)(x+2)
と書いていました。全ての係数について(mod 3)で考えると私の解答と一致していますが、これはどちらも正しいことになるのでしょうか？

また、ここでもう一つの質問ですが、Z3上の多項式というのは、「全ての係数において(mod 3)で考えたとき、等しいものを同じ多項式として扱う」という解釈で正しいのでしょうか？
例えばこの考え方ではZ3上で
x^2+2 = 4x^2+2 = x^2+5 = -2x^2-1
となりますがこれは正しいですか。

質問は以下となります。
(1)私の解答と手元にある解答のどちらが(両方が)正しいのか。
(2)私の体F上の多項式の解釈は正しいのか。
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_38 · ベストアンサー

(1)
表記を統一すればよいのだと思います。

多項式の項は、係数を掛けて足すもの。
引き算は略記に過ぎません。
だから、例えば x-1 は、本来 x+(-1) です。
Z3 のひとつの元を
-1 と書いてみたり 2 と書いてみたりすれば、
それを係数とする多項式の表記も揺らぎます。
有理係数の多項式について、
x+(1/2) と x+(2/4) は同じか？ と悩まない
のと同じことです。

Z3 を { 0, 1, 2 } に統一すれば、
p(x) = (x + 2)(x^2 + x + 2) となります。
その意味では、貴方の答えも、模範解答も、
どちらも中途半端なのかもしれません。
式の意味は同じですが、表記の問題として。

(2)
言わんとすることは、よく解るのですが、
「として扱う」の箇所が気になります。

Z[x] の商集合として Z3[x] を考えている
のだと思いますが、そのやりかただと、
Z[x] を割る同値関係を作る際に、
多項式から個々の係数を取り出す操作か
多項式をそれが表す関数に対応させる操作
か何かを考えなければなりません。
道具建てが大袈裟かな？ と感じます。

先に Z の商環として Z3 を考え、
それを係数とする多項式環 Z3[x] を作る
ほうが、ずっと単純です。
この考え方が、上記 (1) 回答につながります。

お礼

与えられた解答が中途半端なのであれば、私の解答も正解になるのでしょうが、おっしゃる通りZnではn個の整数を統一して解答するようにしたいと思います。
わかりやすい回答をありがとうございました。

回答No.6

yasei

先に回答した者です。
すみません。他の方のご指摘通り-2を見落としていました。

お礼

結局、与えられた解答も中途半端なものだったのですね。
解答ありがとうございました。

回答No.5

alice_38

-2 は、どうなの？

回答No.4

yasei

(2)問題ありません。

(1)厳密に言えば解答のみ正しい。
Z3上の1の加法についての逆元は2です。-1は存在しません。(1の逆元としての-1は存在するが、意味が違う。)
例えるなら、実数の話をしているのに、-1をi^2と表記しているようなものです。

回答No.2

koko_u_u

>(2)私の体F上の多項式の解釈は正しいのか。

両者は自然に同型である。という意味で正しいです。

お礼

回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

Tacosan

(2) だけでいいや. その通りです.

お礼

回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。