フーリエ余弦級数 周期の決め方

質問

f(x)=x(2-x)　(0≦x≦2)

のフーリエ余弦級数を求めたいのですが、周期がわかりません。

答えは２L=4でL=２としているのですが、周期は２であることがグラフから明らかなので２L=2になるのではないのでしょうか？

２L=2で計算するとa(0)＝０となり、答えと異なる値になります。

偶関数になるように拡張しなくても、０≦ｘ≦２の範囲を１周期としてはいけない理由でもあるのであれば教えていただきたいです

回答No.3

FT56F001 · ベストアンサー

「f(x)=x(2-x)　(0≦x≦2)
のフーリエ余弦級数を求めよ」
という問題から，出題者の意図を推測して，正しい問題に書き換えよ。

という質問ですね。

余弦級数に展開するのだから，偶関数に拡張しなければならない。
0≦x≦2という不等式が，周期を表しているらしい。

こうやって出題者が言いたかっただろうことを推測して，

f(x)=x(2-x)　(0≦x≦2)
f(x)=x(2+x)　(-2≦x≦0)
で周期4の関数がある。フーリエ余弦級数に展開せよ。

という問題に変形するわけです。

もっとも偶関数に拡張した波形は，0≦x≦2を1周期と考えた周期関数と全く同じです。
周期2だと思って計算した答と一致するはずです。違うなら，質問者さんの計算違いですね。
f(x)は直流成分を含んでいる(平均すると正の値になる)から，
a(0)=0になる訳がないのだけど。

回答No.2

alice_44

何がイケナイって、その出題がいけない。
周期は出題側で設定しなければ、問題が意味を成しません。
また、周期を明示せずに「フーリエ級数」と言ったら、
周期は 2π です。4 や 2 にはなりません。

ところで、この問題を周期 4 でフーリエ展開するとしたら、
私なら、遇関数ではなく奇関数に拡張します。
そうする人が多いと思いますが…

回答No.1

rnakamra

どちらでも構いません。
周期4とするとa(2k-1)がすべて"0"になるだけです。どちらが計算がしやすいか、という問題でしかありません。

a(0)=0というのは明らかに間違いです。(0<x<2でf(x)>0ですのでa(0)>0が成り立ちます)