添削指導をお願いします。（その１）
Xが2桁の数の時に限って、X^3+Y^3＝Z^3が成り立つ整数組があると仮定し次の様な証明方法を考えて、教授と呼ばれた方に見て頂いたら、まとめ方の稚拙さはともかく、(3)(4)の証明方法の間違いを指摘頂きました。改めて考えましたので訂正できたかどうか、下げて易しく添削指導お願いします。
設問
Xが2桁の数の時、X^3＋Y^3＝Z^3 が成り立つ自然数組があったと仮定する。（X＜Y＜Z とし X Y Z は正の整数とする。）
X Y Zのそれぞれ最上位桁の数を A a２ a１ それ以外の桁の数を B b2 b１ と置くと X Y Z は
X ＝ A + B
Y ＝ a２ + b２
Z = a１ + b１
( 例えば、X=45, Z=123, の時
X＝A+B＝40+5
Z=a1+b１=100+23 という表し方をする。)
と表す事ができる。そうすると、X^3 Y^3 Z^3 は
X^3 = A^3 ＋3A^2B + 3AB^2 ＋ B^3
Y^3 ＝ a2 ^3 ＋3a2^2 b 2 + 3a2b2^2 + b2^3
Z^3 ＝ a1^3 ＋3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3
と表す事ができる。
X^3 ＋ Y^3 ＝ Z^3 を移項して X^3 ＝ Z^3 －Y^3
と表すと、右辺を
a1^3 － a2^3 → A^3 と表しその時の過不足分を(±∆a)と表すと
イ） a1^3 － a2^3 = A^3 + (±∆a) となり、
b1^3－b2^3 → B^3 と表しその時の過不足分を(±∆b)と表すと
ロ） b1^3－b2^3=B^3＋(±∆b)
となる。そうすると
(3a1^2b1+3a1b1^2)－(3a2^2b2 +3a2b2^2) → (3A^2B ＋3AB^2)と表すと
イ) ロ)より(±∆a),(±∆b)の記号が逆に表されるので
ハ）(3a1^2b１＋3a1b1^2)－(3a2^2b2+3a2b2^2)＝(3A^2B+3AB^2)＋(∓∆a)+(∓∆b) となる。
ここで (3A^2B＋3AB^2) ＝ W と表すと
右辺(Z^3‐Y^3) は
{A^3＋(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}+{B^3+(±∆b) }
となる。一方左辺 X^3は
X^3＝ A^3 ＋W +B^3 となる。そうすると
X^3= Z^3 ―Y^3 は
A^3+W＋B^3 ={A^3＋(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}+{B^3+(±∆b) } と表される。この時 X^3 = Z^3 － Y^3 が成り立つと仮定した時の成り立つ形は
(1) A^3＋W＝{A^3+(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}
(2) W＋B^3 ={W＋(∓∆a)+(∓∆b)}＋{B^3+(±∆b)}
(3)W ={W+(∓∆a)+(∓∆b)}
(4)A^3≠{A^3+(±∆a)}かつ W≠{W+(∓∆a)+(∓∆b)} かつ B^3≠{B^3+(±∆b)}
の４つの形となる。これよりXが2桁の数の時,X^3＋Y^3＝Z^3 が成り立つかどうかは，(1)(2)(3)(4)を証明すれば良い事が分かる。
証明
(1)が成り立つと仮定した時
A^3+W＝{A^3+(±∆a)}+{W＋（∓∆a）+（∓∆b）} を移項すると
A^3－A^3+W－W＋（∓∆a）+(±∆a)= （∓∆b）
0= （∓∆b）
これより b1^3－b2^3=B^3が成り立つ事となる。これはXが1桁の数の時 X^3＝Z^3－Y^3が成り立つ事であるので表－１より（表－１は省略します。）成り立つ所があるかどうか捜して見ると、成り立つ所がないのでこれより(1)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(1)の形で成り立つと仮定した事が間違いであることがわかる。
(2)が成り立つと仮定した時
W+B^3 = {W+（∓∆a）＋(∓∆b)}＋{B^3＋（±∆b）}を移項すると
W－W＋B^3－B^3＋(±∆b)+(∓∆b) = (∓∆a)
0= (∓∆a)
これより a1^3 －a2^3 = A^3 が成り立つ事がわかる。ここでA^3, (a1^3－a2^3) の集合を考えて見ると
A^3の集合は
A^3＝10^3 20^3 30^3 ～ 90^3
(a1^3－a2^3) の集合は（a1＞a2の時）
20^3－10^3
30^3－20^3 30^3－10^3
40^3－30^3 40^3－20^3 40^3－10^3
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100^3－90^3 ～ 100^3－10^3
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となる。A^3 a1^3－a2^3 の双方に1/10をかけるとゼロを取る事ができるので 、これはXが1桁の数の時, X^3=Z^3-Y^3が成り立つ事と同じであるので表－１より成り立つ所があるかどうかを捜して見ると、成り立つ所がないのでこれより(2)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(2)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事がわかる。
