ジョルダン開曲線の存在の証明はこれで正しい?
確認させて戴きたいことが有ります。
n次元複素空間C^nに於いて,
a∈C^nに対して,B[a,1/k):={z∈C^n;|z-a|<1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの開n次元球体,
,B[a,1/k]:={z∈C^n;|z-a|≦1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの閉n次元球体と呼ぶ事にする。
B[a,1)＼B[a,1/2]≠φなのでb_1∈B[a,1)＼B[a,1/2]という適当な一点が取れる。
続いてb_2∈B[a,1/2)＼B[a,1/3]という適当な一点が取れる。
この時,B[a,1)＼B[a,1/3]は開領域なのでb_1を始点としb_2を終点とする連続曲線γ(b_1,b_2)が採れますよね。
同様に,B[a,1/2)＼B[a,1/4]＼γ(b_1,b_2)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_2,b_3)が採れますよね。
同様に,B[a,1/3)＼B[a,1/5]＼γ(b_1,b_2)＼γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。
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これらの連続曲線を順に繋いでいって,
∪_{j=1..k}γ(b_j,b_{j+1})とするb_1を始点としb_{k+1}を終点とする連続曲線γ(b_1,b_{k+1})がえんえんと伸ばせますよね(∵選択公理)。
勿論,lim_{k→∞}b_k=aとなりますね。
そこで本題ですが,
{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))はb_1を始点としaを終点とする連続曲線γ(b_1,a)が採れると思います。
その際,Γ:[0,1]→γ(b_1,a)はという媒介変数t∈[0,1]を用いたb_1を始点としaを終点とする連続曲線ですよね?
各γ(b_j,b_{j+1})は有限の長さなので(∵γは連続写像なのでコンパクト集合[0,1]の像もコンパクトになる)
Γ:[0,1]→{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))
を
Γ:[0,1/2]→γ(b_1,b_2); Γ(0):=b_1, Γ(1/2):=b_2,
Γ:[1/2,1/3]→γ(b_2,b_3); Γ(1/2):=b_2, Γ(1/3):=b_3,
:
Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1}); Γ(1/j):=b_j, Γ(1/(j+1)):=b_{j+1}
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と定義すれば宜しいかと思います。
特にγ(b_j,b_{j+1})の長さをlとすると,Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1})を
Γ(1/j)+(1/(j+1))/2):=lの中間点,
Γ(1/j)+(1/(j+1))/3):=lを3等分した始点から1/3の地点,
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という風に定義するとΓは全単射になると思います。如何でしょうか?
お礼
> 添付ファイルの文字が小さすぎて、どれがC_0・・・なのかわかりませんし、 > 文章も何が書いてあるのか全然読めません。 大変失礼いたしました。投稿しなおします。 >> 無限個の交点を持っていますよね。 > 右上のドーナツ型の切れ目の部分のことを言っているのなら、 > 切れ目になっていて重なっていないので交点の個数は無限個どころかゼロではないでしょうか。 C_3と-C_3は同じ線分(重なっていて)で向きが互いに正反対になっているという意味ではないのですか? C_3と-C_3とが別々の位置にある線分なら -C_3はC_4とか別の記号を使うべきだと思うのですが。