最速降下曲線

質問

最速降下曲線を勉強中です。
　２点間を結ぶ曲線は、サイクロイドになるのは理解しつつありますが、２点間を結ぶサイクロイドは無限にあるわけです。初期条件で、始点はわかるんのですが、終点をどのようにすればいいか、わかりません。始点（初速０の所）を決めれば、終点を通るサイクロイドは、一つに決まるのでしょうか。
　サイクロイドとして、降下時間を求め、それが最小となるように係数？を求めればいいのかとも思います。
　あと、水平距離が大きいと、一度、極小を通過してからの方が、速いと思うんですが、どうでしょう。

回答No.3

ryn · ベストアンサー

No.2 さんの表記にあわせると
質問者さんの疑問は
　x = x_0 + a(1 - cosθ)
　y = y_0 + a(θ - sinθ)
の x_0, y_0 が 0 と出来るのはなぜか，
ということですかね？

上のようにすると
　dx/dθ = a*sinθ
　dy/dθ = a*(1 - cosθ)
となるので，
　dy/dx
= (dy/dθ)/(dx/dθ)
= (1 - cosθ)/sinθ
= √{(x - x_0)/(2a - x - x_0)}　　　　　…(1)
が得られます．

一方で，
　F = √{(1+y'^2)/(2gx)}
として，
　d/dx(∂F/∂y')-∂F/∂y = 0
を解くと
　d/dx{y'/√(x(1 + y'^2))} = 0
つまり
　y'/√(x(1 + y'^2)) = c　(c は定数)
が得られ，この式を変形すると
　y' = √{x/(1/c^2 - x)}　　　　　…(2)
となります．

(1)式と(2)式を比較すると
　x_0 = 0
　c = 1/√(2a)
となっていることがわかると思います．
すると，原点では θ = 0 となっているので y_0 = 0 も決定します．
つまり，高い方の位置が視点となっています．

お礼

回答ありがとうございます。
＞質問者さんの疑問は　x = x_0 + a(1 - cosθ)　y = y_0 + a(θ - sinθ)　の x_0, y_0 が 0 と出来るのはなぜか，ということですかね？
　最初はその書き換えが理解できませんでしたが、そういうことを言いたかったような気がします。
　同じ高さ（ｘ軸上のx1,x2）の２点を結ぶサイクロイドは、始点をx1の左上に変えれば、無数にあるわけですから、高さが違う場合も、高い方の位置のさらに、グラフの左上に始点を持ったサイクロイドがあったっていいのではないかと思ったわけです。

回答No.2

KENZOU

サイクロイド曲線は円が直線上（曲線上)を転がるとき、円周の1点は描く軌跡のことですね。

＞２点間を結ぶサイクロイドは無限にあるわけです
サイクロイド曲線の性質からして、決められた２点間を結ぶサイクロイドは一つしかありません。

＞初期条件で、始点はわかるんのですが、終点をどのようにすればいいか、わかりません。
ちょっと問題を解きながら考えてみましょう。計算の細かな点は省略しますので、テキストで補完してください。下方にx軸、水平方向にy軸をとり、曲線の線素をdsとすると　ds=√(dx^2+dy^2)=√(1+y'^2)dx
で、質点の速さは　v=√2gx=ds/dt。　これから　dt=ds/√2gx=√{(1+y'^2)/2gx}　。質点が点A(0,0)から点B(x1,y1)に到達する所要時間をTとすると　T=∫[0,x1]dt=∫[0,x1]√{(1+y'^2)/2gx}dx　
F=√{(1+y'^2)/2gx}として、求める曲線はEuler方程式　d/dx(∂F/∂y')-∂F/∂y=0を解けばよいことになります。具体的に計算を進めると
y'=±√{c1・x/(1-c1・x)}=±√{x/(2a-x)}、2a=1/c1、c1:積分定数
ここでx=a(1-cosθ)と置き換え、変数をxからθに変換すると
dy/dθ=a(1-cosθ)⇒y=a(θ-sinθ)+c2
ここで始点Aの座標が活躍します。すなわち、c2は初期値x=0,y=0、このときθ=0を上の式に代入するとc2=0と求まります。次に終点B(x1,y1)はaを求めるのに必要となってきます。

お礼

回答ありがとうございました。
もう少し考えて見ます。

補足

＞サイクロイド曲線の性質からして、決められた２点間を結ぶサイクロイドは一つしかありません。
　様々なサイズのサイクロイド曲線を思い浮かべ、平行移動させても、一つの曲線しか、ある２点にを通るものは無いのでしょうか？つまり、どちらの点もサイクロイド曲線の途中になるようにすれば、無数にあるような気がするんですが、いかがでしょうか？高い方の位置を始点にするから、１本に決まるようなきがするんです。

回答No.1

ojisan7

>始点（初速０の所）を決めれば、終点を通るサイクロイドは、一つに決まるのでしょうか。

そうですね。必然的に一つに決定されます。普通、サイクロイドは角度θを媒介変数として採用します。たとえば、x=a(θ-sin θ),y=a(1-cos θ)の式でaの値が決まれば、サイクロイド曲線の形は決定します。aの値を決めるためには、終点の座標が分かればよいのです。分かりやすく云えば、サイクロイドの式x=a(θ-sin θ),y=a(1-cos θ)から、θを消去して、y=f(x,a)となったとき、終点の座標値をy=f(x,a)に代入すれば、原理的にはaを求めることできますよね。

>　サイクロイドとして、降下時間を求め、それが最小となるように係数？を求めればいいのかとも思います。

変分法で、降下時間が最小となるように求めた曲線がサイクロイドだということが分かったのですから、あとは、サイクロイドの式に初期条件（始点の座標値、終点の座標値）を代入すればよいだけの話です。

お礼

回答ありがとうございます。
サイクロイドを変分法で求める過程で、始点の条件を加味してあるということでしょうか。ですから、終点を代入すればよいということでしょうか？