式の展開法を教えてください

質問

ｍ＾ｎは、ｍのｎ乗である事を示すとします、

e=４ｂ(ａπ＾2ｄ^6+48ｃ)/ａπｄ^4
を、「d=」の型にしたいのですが
どうすれば良いでしょうか？

考え方のご教示をお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

e = 4b{a(π^2)(d^6) + 48c}/(aπd^4) ということですよね？

両辺に右辺の分母をかけて、
aeπd^4 = 4(π^2)abd^6 + 192bc
4(π^2)abd^6 - πaed^4 + 192bc = 0

これは、dについての6次方程式、または、
d^2についての３次方程式なので、
それを、解くことになります。

ただ、文字の並びを見ると、普通にさっと解けるタイプの
方程式ではなさそうですし、まして、d = ～、すんなり
書ける形になるとは、思えないのですが…

お礼

あ゛！　済みません
言い忘れていましたが、
此の式は元々は

私なりに
オイラー氏の座屈についての式に、
ねじれ要素を　組み込んだものなのです。
(※：当然ここら辺の式の展開なども怪しいのですが…　汗）

なので言うまでもなく
ｄは直径、つまり正の実数です。

この点を使ってｄ＝の式を収束させています。

では以下続きです。
上式中の
(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)
+√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2
((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)
を、整理すると
(-24ca(π^2)-e/108bπ+(24c/a(π^2)-e/108bπ)((-e/12bπ)^3))^(1/3)
=((24c/a(π^2)-e/108bπ)((-e/12bπ)^3)-1)^(1/3)

同様に、
(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)
-√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2
((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)
を、整理すると
(-24ca(π^2)-e/108bπ-(24c/a(π^2)-e/108bπ)(-e/12bπ)^3)^(1/3)
=(-24ca(π^2)-e/108bπ-(24c/a(π^2)+e/108bπ-2e/108bπ)(-e/12bπ)^3)^(1/3)
=(-(24ca(π^2)+e/108bπ)-(24c/a(π^2)+e/108bπ)(-e/12bπ)^3+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
=(-(24ca(π^2)+e/108bπ)-(24c/a(π^2)+e/108bπ)(-e/12bπ)^3+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
=(-((24ca(π^2)+e/108bπ)+(24c/a(π^2)+e/108bπ)(-e/12bπ)^3)
+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
=(-((24c/a(π^2)+e/108bπ)((-e/12bπ)^3+1))+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
=(((24c/a(π^2)+e/108bπ)((e/12bπ)^3-1))+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
と、なる。

従って
ｄ^2=((24c/a(π^2)-e/108bπ)((-e/12bπ)^3)-1)^(1/3)
　　+(((24c/a(π^2)+e/108bπ)((e/12bπ)^3-1))+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)-e/12bπ
ｄ^2=((-1+i√3)/2)((24c/a(π^2)-e/108bπ)((-e/12bπ)^3)-1)^(1/3) ・・・(1)
　　+((-1-i√3)/2)(((24c/a(π^2)+e/108bπ)((e/12bπ)^3-1))+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
-e/12bπ ・・・(2)
　　=((-1-i√3)/2)((24c/a(π^2)-e/108bπ)((-e/12bπ)^3)-1)^(1/3)
　　+((-1+i√3)/2)(((24c/a(π^2)+e/108bπ)((e/12bπ)^3-1))+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)
-e/12bπ ・・・(3)
と、なるが、
ｄが実数解という性質より、式(2)と式(3)は除外され
解は式(1)
ｄ^2=((24c/a(π^2)-e/108bπ)((-e/12bπ)^3)-1)^(1/3)
　　+(((24c/a(π^2)+e/108bπ)((e/12bπ)^3-1))+(-e/12bπ)^3(-2e/108bπ))^(1/3)-e/12bπ
に収束する。

如何でしょうか？
かなり自信ないのですが…

更にご教示を頂ければ幸いです。

補足

有り難うございます、もの凄く力づけられました。
お陰で以下のようにまがりなりにも解に近づけました
(※：正しく出来ているか非常に疑問なのですが…　)

ところで
導関数を使って極値を出せば
ｄ＝の式になるって事あるのですか？

後、もし甘えて良いなら
式の展開についても
ご指南頂ければ助かるのですが、
甘えても良いですか？

こんなように展開してみたのですが、
(※：３次方程式の解法について「物理の鍵しっぽ」様を参考にしました、掲示有り難うございます)
http://hooktail.sub.jp/index.html

e=4b{a(π^2)(d^6)+48c}/(aπd^4)
aπd^4e=4b{a(π^2)(d^6)+48c}
aπd^4e=4ba(π^2)(d^6)+192bc
aπd^4e=4ba(π^2)(d^6)+192bc
4ba(π^2)(d^6)-aπd^4e+0d^2+192bc=0
4ba(π^2)(d^2^3)-aπed^2^2+0d^2^1+192bc=0
(d^2^3)-aπed^2^2/4ba(π^2)+d^2^1/4ba(π^2)+=0
aπe/4ba(π^2)をf
0/4ba(π^2)をg
192bc/4ba(π^2)をhとおくと
d^3+fd^2+gd+h=0と表せる
此を立体完成して
(d^2+f/3)^3+(g-(f^2)/3)(d^2+f/3)+g+2(f^3)/27-fg/3
仮に
(d^2+f/3)^3をy
g-(a^2)/3を3p
g+2(f^3)/27-fg/3を2qとおくと
y^3+3py+2q=0と変形できる。

更に此所で
Y=u+v(ただしu≠-v)とおくと
U^3+v^3=-2q
U^3v^3=-p
とできる。
二次方程式の解の公式より
U^3=-q+√q^2+P^3
V^3=-q-√q^2+P^2
という2式が得られる

このuの解とvの解は
U1=(-q+√q^2+P^3)^(1/3)
u2=((-1+i√3)/2)((-q+√q^2+P^3)^(1/3))
U3==((-1-i√3)/2)((-q+√q^2+P^3)^(1/3))
V1=(-q-√q^2-P^3)^(1/3)
V2=((-1+i√3)/2)((-q+√q^2-P^3)^(1/3))
v3=((-1-i√3)/2)((-q+√q^2-P^3)^(1/3))
となる

これらをyに戻すと
y=(-q+√q^2+P^3)^(1/3)+(-q-√(q^2-P^3))^(1/3)
y=(((-1+i√3)/2)(-q+√q^2+P^3)^(1/3)(-q-√(q^2-P^3))^(1/3))
+(((-1-i√3)/2)(-q+√q^2+P^3)^(1/3)(-q-√(q^2-P^3))^(1/3))
y=(((-1-i√3)/2)(-q+√q^2+P^3)^(1/3)(-q-√(q^2-P^3))^(1/3))
+(((-1+i√3)/2)(-q+√q^2+P^3)^(1/3)(-q-√(q^2-P^3))^(1/3))

続いてdに戻すと((-27h+2f-9fg)/54)
D^2=　　　　　　 (((-(27h+2f-9fg))/54)+√((((-27h+2f-9fg)/54))^2((+((3g-f^2)/9)^3))))^(1/3)
　　　　　　　　+(((-(27h+2f-9fg))/54)-√((((-27h+2f-9fg)/54))^2((+((3g-f^2)/9)^3))))^(1/3)
-f/3
D^2=((-1+i√3)/2)(((-(27h+2f-9fg))/54)+√((((-27h+2f-9fg)/54))^2((+((3g-f^2)/9)^3))))^(1/3)
　 +((-1-i√3)/2)(((-(27h+2f-9fg))/54)-√((((-27h+2f-9fg)/54))^2((+((3g-f^2)/9)^3))))^(1/3)
-f/3
D^2=((-1-i√3)/2)(((-(27h+2f-9fg))/54)+√((((-27h+2f-9fg)/54))^2((+((3g-f^2)/9)^3))))^(1/3)
　 +((-1+i√3)/2)(((-(27h+2f-9fg))/54)-√((((-27h+2f-9fg)/54))^2((+((3g-f^2)/9)^3))))^(1/3)
-f/3

F・g・hを元に戻すと
D^2=(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)
+√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2
((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)
+(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)
-√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2
((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)-(aπe/4ba(π^2))/3
D^2=((-1+i√3)/2)(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)+√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)
+((-1-i√3)/2)(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)-√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)-(aπe/4ba(π^2))/3
D^2=((-1-i√3)/2)(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)+√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)
+((-1+i√3)/2)(((-(27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2))))/54)-√((((-27(192bc/4ba(π^2))+2(aπe/4ba(π^2))-9(aπe/4ba(π^2))(0/4ba(π^2)))/54))^2((+((3(0/4ba(π^2))-(aπe/4ba(π^2))^2)/9)^3))))^(1/3)-(aπe/4ba(π^2))/3

文字数制限の為　以下、続きはお礼に記載します。