tanx /xの積分

質問

tanx/xのグラフを書くと-1から1まで滑らかな曲線になるので面積を求めたいのですが、積分が解りません。お教え頂きたく存じます。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

既に回答がついているのでナンだが・・・、
|x|≦1 (＜π/2)であるので正接級数を使って表現してみると・・・　
(xのn乗をx^(n)・・・等で表す事にする。また、定積分の上端、下端代入の表現を{F(x)}|[x=a→b]と書く事にする)

tanx/x = Σ[n=1～∞]{(2^(2n)・(2^(2n)－1)・(B_n)/(2n)!)・x^(2n-2)} (B_n；ベルヌーヰ数)
であるから
∫[-1→1]{tanx/x}dx
= 2・∫[0→1]{Σ[n=1～∞]{2^(2n)・(2^(2n)－1)・(B_n)/(2n)!}x^(2n-2)}dx
= 2・Σ[n=1～∞]{2^(2n)・(2^(2n)－1)・(B_n)/(2n)!}{1/(2n－1)・x^(2n－1)}|[x=0→1]
= 2・Σ[n=1～∞]{2^(2n)・(2^(2n)－1)・(B_n)/((2n－1)・((2n)!))}
= 2・(6・B_1 + 10/3・B_2 + 84/75・B_3 + 34/147・B_4 + 1122/11025・B_5 + ・・・・)
= 2・(6・1/6 + 10/3・1/30 + 84/75・1/42 + 34/147・1/30 + 1122/11025・5/66 + ・・・)
＜2tan(1) (直線y=tan(1)/1 = tan(1)の[-1,1]の定積分(長方形の面積)よりも小さい！)

お礼

御回答ありがとうございます。Bernoulli数を使ってあのように表せるのですね。もう一度勉強し直します。
しばらく勉強して、今度はもっと難しい質問をさせて頂きます。ありがとうございました。

回答No.1

info22_

http://www.wolframalpha.com/
で
integrate(2*tan(x)/x,x,0,1)
と入力して実行してみて下さい。
積分結果=2.2983024610470612080965814736755484…

tan(x)/xがx=0で未定義、x→0の時 tan(x)/x→1
なので、広義積分になりますが、tan(x)/xは偶関数なので
　∫[-1,1] tan(x)/x dx=2∫[0,1] tan(x)/x dx
　　=∫[0,1] 2tan(x)/x dx
となるので上のように入力すれば数値積分してくれます。

なお、この積分は初等関数では表せないと思います。
積分は収束しますので数値積分は可能です（グラフからも明らかです）。

お礼

ありがとうございました。やはり初等関数では表せないようですね。