【至急】大学の講義で出てきたフーリエ級数の話です。

質問

【至急】大学の講義で出てきたフーリエ級数の話です。

f(x)=x^2(-π＜ｘ＜π)のフーリエ級数を求めてから、（ここまではわかりました。）
Σ[n=1～∞]1/n^4を求める問題なのですが、どうしたら４乗が出てくるか、など解答のアプローチの仕方が分かりません。
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.6

FT56F001

[資料]
f1(x) = x / 2　(-π<x<π)のフーリエ展開
f1(x) = Σ[n=1から∞] (1 / n) * (-1) ^ (n + 1) * Sin(n * x):

f2(x) = x ^ 2 / 4 - π ^ 2 / 12　(-π<x<π)のフーリエ展開
f2(x) = Σ[n=1から∞] (1 / n ^ 2) * (-1) ^ n * Cos(n * x):

f3(x) = x ^ 3 / 12 - x * π ^ 2 / 12　(-π<x<π)のフーリエ展開
f3(x) = Σ[n=1から∞] (1 / n ^ 3) * (-1) ^ n * Sin(n * x)

f4(x) = x ^ 4 / 48 - x ^ 2 * π ^ 2 / 24 + 7 * π ^ 4 / 720　(-π<x<π)のフーリエ展開
f4(x) = Σ[n=1から∞] (1 / n ^ 4) * (-1) ^ (n + 1) * Cos(n * x)

回答No.5

FT56F001

フーリエ展開は，項別に微積分できます。ある関数を積分するとフーリエ係数は1/n倍になり，
微分するとフーリエ係数はn倍になります。
すなわち，f(x)がa_n*cos(nx)とフーリエ展開されるなら，
積分したF(x)=∫f(x)dxは(a_n/n)*sin(nx)とフーリエ展開され，
微分したf'(x)は(-n*a_n)*sin(nx)とフーリエ展開されます。

x^2のフーリエ展開が分かっているなら，1/(n^4)の係数が出てくる関数f(x)を思いつくでしょう。
その関数を見つければ，x=0(またはx=πなどcos(nx)がきれいに消える値)の関数値から，
Σ[n=1～∞]1/n^4の値が計算できそうですね。

回答No.4

151A48

訂正
さっきの答えの１行目，∑の前に　＋　を入れてください。

回答No.3

151A48

x^2=(（π^2)/3)∑(((-1)^n)4/n^2)cosnx とフーリエ級数にできますから　x=πを代入して
π^2=(π^2)/3+∑4/n^2　　これより　∑1/n^2=(π^2)/6 はだせますが，∑1/n^4　は出せないとおもいます。問題の間違いでは？　ちなみに∑1/n^4は(π^4)/90　になることはわかっています。
∑の添字は省略して書いています。

回答No.2

Tacosan

ぱ....

回答No.1

kirinstout

せんせに訊きなさ～い