フーリエ級数を教えて下さい。

質問

下記のフーリエ級数に関する問題について回答をお願い致します。

f(x)=0(-π<x<0)
　　　1(0<x<π)
　　　1/2(x=0、π)

また、このフーリエ級数を用いて、次式の級数を証明しなさい
(1/1)-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…=(π/4)

何卒、宜しくお願い致します。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

a0=(1/π)∫[0→π] 1 dx=1
n≧1の場合
an=(1/π)∫[0→π] cos(nx) dt=(1/(nπ))[sin(nx)] [0→π] =0
bn=(1/π)∫[0→π] sin(nx) dt=(1/(nπ))[-cos(nx)] [0→π] =(1/(nπ)){1-(-1)^n}
f(x)=(a0/2)+Σ(n=1～∞) bn sin(nx)
=(1/2)+(1/π)Σ(n=1～∞)[{1-(-1)^n}/n] sin(nx)
=(1/2)+(2/π){sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+(1/7)sin(7x)+ ... }

f(π/2)=1
=(1/2)+(2/π){sin(π/2)+(1/3)sin(3π/2)+(1/5)sin(5π/2)+(1/7)sin(7π/2)+ ...}
=(1/2)+(2/π){1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+ ...}

1-(1/2)=(2/π){1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+ ...}
1/2=(2/π){1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+ ...}
π/4=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+ ...
(証明終り)

お礼

早急な回答を有難う御座いました。大変助かりました。