三角錐と円錐

質問

なぜ三角錐と円錐の面積の出し方は
底面積×高さ×１／３ですよね？
なぜ３分の１をかけるのでしょうか？
数学の先生が高校で習う範囲だといっていましたが、どうしても知りたいです。
多少難しい言葉も調べますので。教えて下さい

回答No.2

Ichitsubo · ベストアンサー

錐の底面積をS,高さをhとおきます。このとき簡単のために、高さは錐の頂上からの高さとしましょう。
錐を輪切りにしたときの面積sは輪切りの位置の高さxの二乗に比例します。なぜならその半径が高さに比例するからです。
s(x) = aπ*x^2
また s(h) = S なので
s(x) = {S/(h^2)}*x^2
となります。
ここで、高さxから高さx+dxまでの面積s(x),高さdxの柱の体積は
s(x) dx
と表すことが出来ます。
これを高さ0からhまでそれぞれ合計する（積分する）と錐の体積Vになります
V = ∫(0→h) s(x) dx
= ∫(0→h) {S/(h^2)}*x^2 dx
= S/(h^2)∫(0→h) x^2dx
= S/(h^2) [1/3 x^3](0→h)
= {S/(h^2)}*(1/3 *h^3)
= (1/3)*Sh

お礼

式を見ると分からないものですね。
ずっとこの式とにらめっこして理解してみたいと思います。ありがとうございます

回答No.4

Ichitsubo

#2訂正です
最初の式を s(x) = ax^2 に訂正します。

回答No.3

sasakama7

高校2，3年で習う範囲なので、
かなり高度です。

何をするかというと、「積分」です。
どんなものが積分なのかというと、
たとえば、ｙとｘのグラフで、面積を
求めるようなときに使います。
例をあげると、
y=x^2のxが0から1の間で、ｘ軸とこのグラフの
間の面積を求めたいとき、三角形の公式とか
普通の方法では求められません。
そこで、このグラフの値をｘについて非常に細かく
区切り、その区切った区間の距離とグラフの値を掛け、
その区間の長方形の面積を出し、それぞれを
足し合わせていくという方法で求めます。
これが、積分計算の一例です。
ただ、足し合わせていくといっても、何回も
足していかなければいけないものではなく、
単純な方法で計算できます。

こいつの原理を応用して、錐を高さ方向に細かく
輪切りにして、その面積を全て足し合わせていくという
方法をとると、公式のような体積が求められます。
詳しい方法は参考URLのNo.229に載ってます。
難しいですが…

参考URL：

http://www.junko-k.com/collo/collo29.htm

お礼

高校２．３年レベルなんですね。
微分積分を習っていないのにやはり理解は難しかったです。
頑張って理解してみたいと思います。ありがとうございました

回答No.1

ONEONE

まずはアルキメデスの考え方を知ってみては如何でしょう。

参考URL：

http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

お礼

見させていただきました。
このＨＰを良く見てみます。ありがとうございます