絶対値つき関数について

質問

f(x)＝｜2x-1｜のとき、y＝｜2f(x)-a｜の最大値はaの式で表されるがそれをaの関数とみるときその最小値を求めよ。(0≦x≦1)
という問題なのですがどうやって解けばいいのでしょうか…お願いします

回答No.6

yyssaa

No.4の回答者です。

補足質問：0≦x≦1が条件ですから、1≧x≧1/2ってなぜこうなるんでしょうか？
に回答します。

f(x)=｜2x-1｜の絶対値記号をとるために、まず2x-1≧0の場合を
考えています。すなわち2x≧1、x≧1/2の場合です。
しかし、この問題には0≦x≦1という条件がありますから、ここで
考えるxの範囲は、x≧1/2と0≦x≦1の共通範囲である1/2≦x≦1に
なります。

お礼

なるほど ありがとうございます

回答No.5

info22_

#2です。

A#2の補足質問について

>ただ
y(x=0,1)
ってなんでしょうか？

x=0におけるyの値y(x=0)とx=1におけるyの値y(x=1)（最大値）が等しいので
簡単にx=0およびx=1におけるyの共通の値を
y(x=0)=y(x=1)と書く代わりに,y(x=0,1)と書いたもので深い意味は
ありません。

お礼

ありがとうございます

回答No.4

yyssaa

まず、絶対値の定義を確認しましょう。
｜A｜は、A≧0の時｜A｜=A
A＜0の時｜A｜=ーA
これが定義です。従って
2x-1≧0、すなわちx≧1/2の時 f(x)=｜2x-1｜=2x-1、2f(x)-a=4x-2-a
2f(x)-a≧0の時 y=｜2f(x)-a｜=2f(x)-a=4x-2-a
0≦x≦1が条件ですから、1≧x≧1/2より
4≧4x≧2 4-2-a≧4x-2-a≧2-2-a 2-a≧4x-2-a≧-a 2-a≧y≧-aとなり、
この時のyの最大値は2-a・・・(ア)となります。

2f(x)-a＜0の時y=｜2f(x)-a｜=-2f(x)+a=-4x+2+a
同じく1≧x≧1/2より
-4≦-4x≦-2 -4+2+a≦-4x+2+a≦-2+2+a -2+a≦-4x+2+a≦a -2+a≦y≦a
となり、この時のyの最大値はa・・・(イ)となります。

2x-1＜0、すなわちx＜1/2の時 f(x)=｜2x-1｜=-2x+1、2f(x)-a=-4x+2-a
2f(x)-a≧0の時 y=｜2f(x)-a｜=2f(x)-a=-4x+2-a
0≦x≦1が条件ですから、0≦x＜1/2より
0≧-4x＞-2 0+2-a≧-4x+2-a＞-2+2-a 2-a≧-4x+2-a＞-a 2-a≧y＞-aとなり、
この時のyの最大値は2-a・・・(ア)となります。

2f(x)-a＜0の時y=｜2f(x)-a｜=-2f(x)+a=4x-2+a
同じく0≦x＜1/2より
0≦4x＜2 0-2+a≦4x-2+a＜2-2+a -2+a≦4x-2+a＜a -2+a≦y＜aとなり、
この時のyはaより小さいというだけで、yの最大値をaの式で表すことは
出来ません。

以上よりy＝｜2f(x)-a｜の最大値は、2-a 又はa　となり、その最小値は
2-a≧aすなわち1≧aならaとなり、2-a≦aすなわち1≦aなら2-aとなります。
従ってaの値を決めればy＝｜2f(x)-a｜の最小値が決まることになります。
例えばa=1なら最小値は1となり、a=2なら最小値は0となります。

お礼

ありがとうございます

補足

あの

＞0≦x≦1が条件ですから、1≧x≧1/2

ってなぜこうなるんでしょうか？

回答No.3

ferien

f(x)＝｜2x-1｜のとき、y＝｜2f(x)-a｜……（１）のグラフの形について

ａ≦０のとき、２本の直線からなり、ｘ＝１／２のところで下向きに先端がとがっているような形です。
ｘ＝１／２のとき常に最小値をとります。

ａ＞０のとき、４本の直線からなり、下向きに先端が２つ、ｘ＝１／２のところで上向きに先端が１つのジグザグの形をしています。
下向きの先端２箇所で、常に最小値０を取ります。

最小値の場合は、ある程度パターンが決まっているのですが、最大値は、0≦x≦1にも左右されるので、実際にいろいろ値を入れてグラフを調べてみないと分からないところがあります。

最大値のaの式（Ｍ（ａ）とする）は、式変形だけでは求めるのが難しいです。

最大値ａの式Ｍ（ａ）の最小値は、ａ＝１のとき１です。
そのとき（１）のグラフは、ｘ＝０，1/2、１の３箇所で、最大値１を取ります。

ａ＜１では、ｘ＝０，１のときの値が（１）の最大値です。
最大値ａの式は、Ｍ（ａ）＝－ａ＋２　です。
ａ＞１では、ｘ＝１／２のときの値が（１）の最大値です。
最大値ａの式は、Ｍ（ａ）＝ａ
最大値ａの式Ｍ（ａ）は、いろいろ値を調べた結果でてきた式です。

>どうやって解けばいいのでしょうか…
の回答になってないかもしれませんが、参考に見てもらえればと思います。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

info22_

a<1,a=1,a>1で場合分けします。

a<1のとき y(max)=g(a)=y(x=0,1)=|2-a|=2-a
a=1のとき y(max)=g(a)=y(x=0,1,1/2)=1
a>1のとき y(max)=g(a)=y(x=1/2)=|-a|=a

最大値y(max)はaの式g(a)で表される。
　g(a)=2-a (a≦1のとき)
　g(a)=a (a>1のとき）
g(a)をグラフに描くと添付図のようになります。
グラフよりg(a)の最小となるのはa=1の時で最小値g(1)=1となる。

お礼

ありがとうございます

補足

ただ
y(x=0,1)
ってなんでしょうか？

回答No.1

gohtraw

２ｘ－１の値はｘ＞＝１／２のとき正、ｘ＜１／２のとき負ですから、ｆ（ｘ）は
ｘ＞＝１／２のとき　ｆ（ｘ）＝２ｘ－１
ｘ＜１／２のとき　ｆ（ｘ）＝１－２ｘ
となります。したがってｙは
ｘ＞＝１／２のとき　｜４ｘ－２－ａ｜
ｘ＜１／２のとき　｜２－４ｘ－ａ｜
となります。

ｘが１／２から大きくなっていくときｙの値は大きくなり、ｘ＝１のときｙ＝｜２－ａ｜
ｘが１／２から小さくなっていくときｙの値は大きくなり、ｘ＝０のときｙ＝｜２－ａ｜
となるので、ｘ＝１／２のときｙは最小値をとります。

お礼

なるほど、ありがとうございます！