絶対値つき関数について

質問

関数f(x)＝｜x-1｜+｜x+2｜+｜x-a｜のとき、a＝3だと最小値がいくつか、またaが3でないとき、いつa＝3と同じという最小値になるかという問題なんですが、答えによりますと、なぜかa＜1と、-2≦a≦1の場合に分けているのです
これはなぜでしょうか？

回答No.5

info22_

#2～#4です。

A#4の補足質問について

>> a<-2（a≦2)の時
>> 　f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-a|
>> が最小になるのはx=-2の時で

> ってなぜ最小になるのが-2だと分かるんですか？

a≦-2の時のグラフを使って絶対値のグラフのyを加えれば明らかですが
xの区間で分割して式的にf(x)の増減を調べる方法で説明すれば以下のようになります。

a≦-2の場合を考えると
x≦aの時　f(x)=-(x-1)-(x+2)-(x-a)=-3x-1+a
f(x)はxの係数-2<0なので減少関数となるから
　区間の最小値はf(a)=-2a-1(≧3)
　f(x)≧f(a)

a≦x≦-2の時　f(x)=-(x-1)-(x+2)+(x-a)=-x-1-a
　f(x)はxの係数-1<0なので減少関数となるから
　区間の最大値はf(a)=-2a-1
　区間の最小値はf(-2)=1-a
　f(a)≧f(x)≧f(-2)

-2≦x≦1の時　f(x)=-(x-1)+(x+2)+(x-a)=x+3-a
　f(x)はxの係数1>0なので増加関数となるから
　区間の最小値はf(-2)=1-a
　区間の最大値はf(1)=4-a
　f(-2)≦f(x)≦f(1)

1≦xの時 f(x)=(x-1)+(x+2)+(x-a)=3x+1-a
　f(x)はxの係数3>0なので増加関数となるから
　区間の最小値はf(1)=4-a
　f(1)≦f(x)

以上からxの全範囲で見ればf(x)はx=-2までは減少関数、x=-2で最小となり、x=-2以上のxに対しては増加関数となることがわかります。
そして、x=-2で最小値f(-2)=1-aをとます。

お分りになりましたでしょうか？

お礼

ありがとうございます

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#3の訂正
>#1です。
は「#2です。」の誤りです。
大変失礼しました。→#1さん。

A#3の補足質問について

>重ね重ね申し訳ないのですが、

>>そして、2つの場合のそれぞれについて、a=3の時の最小値5（青実線のグラフ参照）と同じ最小値を持つ場合のaを探します。結果、a<-2の場合に同じ最小値5を持つ場合が発生しその時のaはa=-4となることが出てきます（黒実線のグラフ参照）。

>というのはどうしてわかるのでしょうか？aの範囲がわかっただけじゃグラフは書けないのですが…

a<-2（a≦2)の時
　f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-a|
が最小になるのはx=-2の時で
最小値はf(-2)=3+0+|-2-a|=3+|a+2|=3-(a+2)=1-a
とaの関数になります。この最小値「1-a」がa=3の時のf(x)の最小値5に
等しいという条件から
　1-a=5 ∴a=-4
と求まりますので、f(x)=|x-1|+|x+2|+|x+4|は確定し、そのグラフが描けます。

お礼

なるほど ありがとうございました！

補足

本とうにすみません…

＞a<-2（a≦2)の時
　f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-a|
が最小になるのはx=-2の時で

ってなぜ最小になるのが-2だと分かるんですか？

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足質問
>ただ、
>>ところが1<aの場合は既に最小値がa=3で5となることが分かっている
>なんで分かるのでしょうか？

a=3でaが確定しているのでf(x)も確定し
f(x)=｜x-1｜+｜x+2｜+｜x-3｜
の最小値はf(x)のグラフ（青線のグラフ）から一意的に確定して
するという意味で捉えて下さい。つまり,x=1で最小値f(1)=5が
a=3の時のf(x)のグラフから明らかに分る（分かっている）という
意味です。

お礼

なるほど ありがとうございます

補足

重ね重ね申し訳ないのですが、

＞そして、2つの場合のそれぞれについて、a=3の時の最小値5（青実線のグラフ参照）と同じ最小値を持つ場合のaを探します。結果、a<-2の場合に同じ最小値5を持つ場合が発生しその時のaはa=-4となることが出てきます（黒実線のグラフ参照）。

というのはどうしてわかるのでしょうか？aの範囲がわかっただけじゃグラフは書けないのですが…

回答No.2

info22_

>なぜかa＜1と、-2≦a≦1の場合に分けているのです
>これはなぜでしょうか？

絶対値のグラフはお分かりですか？
y=|x-1|　…(1) …点(1,0)でy≧0側にV字形に折れ曲がった傾き±1のグラフ（灰色実線(1)のグラフ）
y=|x+2|　…(2)…点(-2,0)でy≧0側にV字形に折れ曲がった傾き±1のグラフ（灰色実線(2)のグラフ）
ですね。
ではy=|x-1|+|x+2|…(3) のグラフ（赤線の(3)のグラフ）の折れ曲がり点はどうなりますか？
(3)のグラフは(1)と(2)のグラフのy座標を加え合わせたものだから、
|x-1|=0 (x=1)の所と|x+2|=0 (x=-2)の所がグラフの折れ曲がり点になる事はお分りですか？

更に第３の絶対値のグラフ　y=|x-a|が加わると、折れ曲がり点がx=aの所にできます。
この折れ曲がり点が、2つの折れ曲がり点のどこに来るかで、最小値の位置が変わります。x=a位置で場合分けが必要ですね。
a<-2,-2≦a≦1,1<aの3つの場合に分けて最小値を求めてやる必要があります。ところが1<aの場合は既に最小値がa=3で5となることが分かっているので、残りの　「a<-2」と「-2≦a≦1」の場合について場合分けすれば良いことになります。
そして、2つの場合のそれぞれについて、a=3の時の最小値5（青実線のグラフ参照）と同じ最小値を持つ場合のaを探します。結果、a<-2の場合に同じ最小値5を持つ場合が発生しその時のaはa=-4となることが出てきます（黒実線のグラフ参照）。

お礼

図まで用意していただいてありがとうございます！

補足

ただ、

＞ところが1<aの場合は既に最小値がa=3で5となることが分かっている

なんで分かるのでしょうか？

回答No.1

ferien

>関数f(x)＝｜x-1｜+｜x+2｜+｜x-a｜のとき、a＝3だと最小値がいくつか、

グラフが正確にかければ、見ただけですぐに分かります。
f(x)＝｜x-1｜+｜x+2｜+｜x-３｜
ｘ＝－２，１，３　の間で場合分けすれば良いので、
ｘ＜－２のとき、　　f(x)＝－（ｘ－１）－（ｘ＋２）－（ｘ－３）
　　　　　　　　　　　　　＝－３ｘ＋２　　　　　　　　　　
－２≦ｘ＜１のとき、f(x)＝－（ｘ－１）＋（ｘ＋２）－（ｘ－３）＝－ｘ＋６
１≦ｘ＜３のとき、　f(x)＝（ｘ－１）＋（ｘ＋２）－（ｘ－３）＝ｘ＋４
３≦ｘのとき、　　　f(x)＝（ｘ－１）－（ｘ＋２）＋（ｘ－３）＝３ｘ－２

ｘ＝１のとき、最小値は５　
ｘ＝１のときがグラフの右下がりから右上がりへの境目なので、そこから考えてもいいと思います。

>またaが3でないとき、いつa＝3と同じという最小値になるかという問題なんですが、答えによります
>と、なぜかa＜1と、-2≦a≦1の場合に分けているのです。これはなぜでしょうか？

偶々グラフをすぐにかける環境があるので、これもグラフで答えを見つけました。
場合分けは、多分ａ＜－２と－２≦ａ≦１で分けていると思うのですけれども、違いますか？

ａ＜－２のときは、ａの値を小さくして行くほど最小値が大きくなります。
　　　　　　　　　最小値は３よりも大きい値です。
　　　　　　　　　ａ＝－４のとき、最小値は５になります。
－２≦ａ≦１のときは、この範囲でａの値をいろいろ変えても最小値は３にしかなりませんでした。
ａ＞１のときは、　ａの値を大きくして行くほど最小値が大きくなります。
　　　　　　　　　最小値は３よりも大きい値です。それで、
　　　　　　　　　ａ＝３のとき、最小値が５

最小値と関係しているのは、
f(x)＝｜x-1｜+｜x+2｜の部分なのではないかと思って、計算してみると、
ｘ、－２のとき、f(x)＝－２ｘ－１
－２≦ｘ＜１のとき、f(x)＝３
－２≦ｘのとき、f(x)＝２ｘ＋１
－２≦ｘ＜１のときは、f(x)は定数のままでした。

曖昧な答え方になってしまいましたが、
ａ＝－４のとき、最小値が５になります。
場合分けを行っているのは、ａの範囲によって、最小値の取り方が異なるからです。
とくに、－２≦ａ≦１のときは最小値は一定の値＝３しか取りません。

なにかあったらお願いします。

お礼

ありがとうございます！

補足

すみません 場合分けで、a＜1ではなくa＞1でした