ジャックポットの発生確率と期待値

質問

今日、ゲームセンターにあるメダルゲームでジャックポットを出したのですが、
実際、これはどの程度の確率なのか気になっています。

■ジャックポット獲得ゲーム■

３つのサイコロ(それぞれ１～６)を同時に振る　→これを１ゲームとします。

合計３ゲーム行い、以下の条件をクリアしなければいけません。

(1)すべての数字(１～６)を3ゲームで１回以上出さなければいけない
(2)１ゲームの合計が９でなければならない(３ゲーム中１回でＯＫ)
(3)１ゲームの合計が１０以下でなければいけない(こちらも３ゲーム中１回でＯＫ)

以上の条件がクリアできればいいんですが、なにぶん高校以来数学から離れていてさっぱりです。
まあ(2)がクリアできれば(3)は自動的にクリアだということは分かるんですが・・・。

回答No.4

stomachman

「サイコロ1個を3回振るのを1ゲームとして、これを3度繰り返す」と考えても同じことで、従って、出目のパターンは全部で6の9乗=10077696 通り、つまり約1000万通りです。
　そのうちで(1)～(3)の条件を満たすのが何通りあるかを紙と鉛筆で調べるのは無理でも、たったそれぐらいならパソコンですぐにチェックできる。というわけで、EXCELのVisual Basicでプログラミング3分、実行してみると2分ほどで答が出て、 644652通りでした。
　ですから、「サイコロにゆがみがなく、毎回の出目はそれ以前の出目と無関係である」という理想的なサイコロを使うことを前提として、(1)～(3)の条件がクリアされる確率は644652÷10077696 = 0.063968193 つまり6.4%ほどです。1÷0.063968193 = 15.6… なので、平均して15～16回に1度ぐらいの頻度で(1)～(3)の条件がクリアされる。それほど珍しいことではないようです。

回答No.3

orotimarua

失礼しました、No1の回答は間違いです。

回答No.2

stomachman

stomachmanも数え上げの計算はよく間違えるんですが、No.1はもしかして、たとえば「第1ゲームと第2ゲームは共に出目の合計が9になった」という場合を重複して数えてません？そこを考慮すると、もっとめんどくせー計算になるんじゃないかなあ。
どうも口出し失礼しました > No.1さん

回答No.1

orotimarua

条件（２）から考えます。

サイコロを３つ振って、合計が９になるような出目のパターンは、
６１２、６２１、５１３、５２２、５３１、４１４、４２３、４３２、４４１．
３１５、３２４、３３３、３４２、３５１、２１６、２２５、２３４、２４３．２５２、２６１、
１２６、１３５、１４４、１５３、１６２、の２５パターン。

ここで条件（１）を兼ねるパターン、
１つのゲームで合計９を出して、且つ全９回のサイコロ試行で１～６の出目がそろうパターンを考える。

上記の２５パターンの内、すでに３種の目がそろってるのは、
６１２、６２１、５１３、５３１、４２３、４３２、３１５、３２４、３４２、３５１、
２１６、２３４、２４３、２６１、１２６、１３５、１５３、１６２、の１８パターン。

３ゲーム中の１ゲームで、上記１８パターンの１つが出た場合、
仮に、第１ゲームで６１２の目が出た場合を考える。

条件（１）を満たすために、残り３、４、５の目を出さなくてはいけない。
残り２ゲームで、３、４、５、の目が出るパターンは何通りあるのか。
サイコロを６回振ったとき、最低でも３、４、５、が１回ずつ出るのだから、
６ヶ所の出目の中で、３、４、５の並びかたが何通りあるか考える。
言いかえると、ABCの３人が６つに並んだイスに座る時、そのパターンが何通りになるか。
Aから順番に座るとすると、Aは６つの中からイスを選び、Bは残りの５つから選び、Cは残りの４つから選ぶ。

３人の並び方は、６×５×４＝１２０通り。

３、４、５の並びが１２０通りあるが、その内の１通りについて考える。
６ヶ所の出目中、始めの３ヶ所が３、４、５だった場合、
残った３ヶ所の出目は何が出てもよく、６×６×６＝２１６通りある。
つまり、１２０通りの１つ１つに２１６通りのバリエーションがある。

整理すると、第１ゲームで６１２が出た場合、条件（１）を満たすパターンは、
１２０×２１０＝２５２００通り
第１ゲームで、１～６の数字の３種がそろっている時は同じ計算なので、
上記の１８パターン全部で、２５２００×１８＝４５３６００通り

次に、第１ゲームで合計が９になるパターンの内、
２種の数字しか出てこないものは、上記２５パターンの中で、
５２２、４１４、４４１、２２５、２５２、１４４、
の６パターン。

仮に第１ゲームで５２２の目が出た場合を考える。
条件（１）を満たすため、残り１、３、４、６の目を出さなくてはいけない。
残り２ゲームでサイコロを６回振り、最低でも１、３、４、６が１回ずつ出るのだから、
６ヶ所の出目の中で、１、３、４、６の並びかたが何通りあるか考える。
４人の人間ABCDが６つのイスに座る時の並びかたと同じ計算なので、
６×５×４×３＝３６０通り。
３６０通りの１つ１つで、残り２ヶ所の出目のバリエーションが６×６＝３６通り。

整理すると、第１ゲームで５２２が出た場合、条件（１）を満たすパターンは、
３６０×３６＝１２９６０通り。
第１ゲームで、１～６の２種がそろう時は同じ計算なので、
上記の６パターン全部で１２９６０×６＝７７７６０通り。

次に第１ゲームで合計が９になるパターンの内、
１種の数字しか出てこないものは、上記２５パターンの中で
３３３、の１パターン。

第１ゲームで３３３が出た場合を考える。
条件（１）を満たすため、残り１、２、４、５、６の目を出さなくてはいけない。
残り２ゲームでサイコロを６回振り、最低でも、１、２、４、５、６が１回ずつ出るのだから、
６ヶ所の出目の中で、１、２、４、５、６の並びかたが何通りあるか考える。
５人の人間が６つのイスに座る時の並びかたと同じ計算なので、
６×５×４×３×２＝７２０通り。
７２０通りの１つ１つで、残り１ヶ所の出目のバリエーションが６通り。

整理すると、第１ゲームで３３３が出た場合、条件（１）を満たすパターンは、
７２０×６＝４３２０通り。
第１ゲームで、１～６の１種しか出ないパターンは、
３３３の場合しかないため、全部で４３２０通り。

まとめると、
第１ゲームで合計が９になり、残りゲームで１～６全ての出目が出現するパターンは、
４５３６００＋７７７６０＋４３２０＝５３５６８０通り。

「合計が９になるゲーム」は、第２、第３にくるパターンもあり、
それらを含めると、５３５６８０×３＝１６０７０４０通り。

ここで、サイコロ９回試行は全部で何通りあるかも考える。
６×６×６×６×６×６×６×６×６＝１００７７６９６通り。

１００７７６９６通りの中で、１６０７０４０種の事が起きる確率は、
１６０７０４０÷１００７７６９６×１００＝１５．９４６５０２１％