対象行列

質問

P=KUでポテンシャルエネルギーが存在するにはｋが対象行列であることを示せ
この問題の証明が分かりません

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

よこあいから口を挟むようですみません。ちょっと面白そうな設問でしたから少し考えてみました。
Ｐ＝ＫＵを３次元で考え
　｜Ｐ１｜＝｜Ｋ11　Ｋ12　Ｋ13｜｜Ｕ1｜　　(1)
　｜Ｐ２｜　｜Ｋ21　Ｋ22　Ｋ23｜｜Ｕ2｜
　｜Ｐ３｜　｜Ｋ31　Ｋ32　Ｋ33｜｜Ｕ3｜
と書くことにします。ここでＫが対称行列であるための必要十分条件は
　Ｋ＝Ｋ[転置行列]　　(2)
ですね。ところでポテンシャルエネルギーが存在すれば、力ＰとポテンシャルＵの関係は一般に
　Ｐ＝－∇Ｕ　　(2)
　ｒｏｔtＰ＝０　　(3)
と書くことができます。(3)は力が保存力であることを意味しています。(2)の∇を(1)の表記にあてはめると
｜Ｋ11　Ｋ12　Ｋ13｜≡｜i∂/∂x1　０　　　　０｜　(1)
｜Ｋ21　Ｋ22　Ｋ23｜　｜　０　　j∂/∂x2　　０｜
｜Ｋ31　Ｋ32　Ｋ33｜　｜　０　　　０　k∂/∂x3｜
と書くことができ、対角成分以外は０で、この行列はまさに対称行列となっていますね。逆に非対角成分が０でなければ混ざり合いが起こって(2)、(3)は成立しなくなります。
以上の話の流れでいかがでしょうか（←あまり自信なし）。

回答No.1

grothendieck

ooatarinakasannさん。こんいちは。通常、ポテンシャルエネルギーが存在する条件といえば、力が保存力であること、すなわち点P1とP2を結ぶ曲線をC、力をFとするとき、∫c F・dlという線積分が曲線の取り方によらないことをいうと思います。しかし、これとご質問の内容が結びつきそうにありません。それともこれはKが対称行列(対象でなくて対称でしょうか)ということから、ヒルベルト空間でUが対称作用素として存在するための条件を求めるというような問題なのでしょうか。いずれにしても問題の設定とPやKやUが何なのかについてご説明を頂きたいと思います。(説明を要しないほど一般的な記号だというのならすみません)

補足

回答ありがとうございます。対象は対称の誤りです。Ｐ＝ＫＵでＰ、Ｕはｎ行１列の行列であり、Ｋは係数行列です。