教えて下さいませ

質問

この問題の解答を教えて下さい。普通の重複組み合わせじゃないですよね？

30人の生徒が全3問からなる試験をうけた。各問題を正解するとそれぞれ1点、2点、4点が与えられ、正解でない場合は、0点である。
　試験の結果、どの問題についても正解者が10人であったとき、受験者の得点30個の組としてかんがえられるものは、何通りあるか。ただし、順番を並べ替えただけの組は同じものとみなす。

よろしくお願いします。

回答No.7

stomachman

えーと、G(m)の計算は、

　　G(m) = (Σ{j=1,...,m+1} j^2) - H(m)
　　 = (m+1)(m+2)(2m+3)/6 - H(m)

ただし、
　　h = floor((m+1)/2) 　（（m+1)/2の小数点以下を切り捨てたもの）
　　H(m) =
　　　　mが奇数 → Σ{j=0,...,h-1}(4j+1)(h-j) =(4h-1)(h+1)h/6
　　　　mが偶数 → Σ{j=0,...,h-1}(4j+3)(h-j) = (4h+5)(h+1)h/6

とするのが正解だな。
　すると、
G(0) = 1
G(1) = 4
G(2) = 11
G(3) = 23
G(4) = 42
G(5) = 69
G(6) = 106
G(7) = 154
G(8) = 215
G(9) = 290
G(10) = 381
で合計1296通り。

おお、No.3の答と合いましたよ。

お礼

どうもありがとうございました。No.3の方と共に素晴らしいです。
私の頭ではどちらのお答えが優れているか判定出来ません。
申し訳ありませんが、引き分けにさせていただきます。

回答No.6

stomachman

No.4です。　たはは、間違い。ボケてました。　
No.5さん、ご指摘有難うございます。

N(011)+N(101)+N(110) は 最大 floor( (3/2)m) になる。これじゃ数え落としていますね。
んじゃ、正しいG(m)の式はというと、えーと、えーと…
ちょっと待って～

回答No.5

nag0720

No４さんはG(m)の式が違ってますね。

G(m) =Σ{j=0～m} (m+1-j)(j+1) = (m+1)×1+ m×2+(m-1)×3+…+1×(m+1)
これは、
N(011)+N(101)+N(110) ≦ m
を満たす個数を求める式です。

m=2の場合で示すと、
N(011)+N(101) ≦ 2
N(011)+N(110) ≦ 2
N(101)+N(110) ≦ 2
を満たす（N(011),N(101),N(011)）の組は、
(0,0,0)、(0,0,1)、(0,1,0)、(1,0,0)、(0,0,2)、(0,2,0)、(2,0,0)、(0,1,1)、(1,0,1)、(1,1,0)、(1,1,1)
の11個ありますが、
G(2)=(2+1)×1+2×2+(2-1)×3=10
ですから１個足りません。

回答No.4

stomachman

得点を2進法で書く事にすると、「どの問題を正解したか」と得点とが１：１対応していることが見やすいでしょう。
　で、受験者を得点t=000～111の8通りに振り分ける。それぞれの人数をN(t)とすると、受験者が30人以上いるのだから、問題は
　　N(001)+N(011)+N(101)+N(111) = 10　　…(1)
　　N(010)+N(011)+N(110)+N(111) = 10　　…(2)
　　N(100)+N(101)+N(110)+N(111) = 10　　…(3)
　　0≦N(t) (t=001～111)　　…(4)
を満たすようなN(t) (t=1～7)が何通りあるかを求めていることになります。

　さて、N(001)は(1)にだけ、N(010)は(2)にだけ、N(100)は(3)にだけ現れるから、
　　N(011)+N(101)+N(111) ≦ 10　　…(1’)
　　N(011)+N(110)+N(111) ≦ 10　　…(2’)
　　N(101)+N(110)+N(111) ≦ 10　　…(3’)
　　0≦N(t) ≦10 (t = 011, 101, 110, 111)　…(4’)
を満たすN(t) (t = 011, 101, 110, 111) を数え上げれば良い。（∵これらが決まればN(001),N(010),N(100)は一意的に決まるから。)

　さらに、N(111)は(1’)(2’)(3’)全部に現れる。そこで、m=10-N(111)とおく。そしてm=0～10について
　　N(011)+N(101) ≦ m　　…(1’’)
　　N(011)+N(110) ≦ m　　…(2’’)
　　N(101)+N(110) ≦ m　　…(3’’)
　　0≦N(t) ≦m (t = 011, 101, 110) 　…(4’’)
を満たすN(t) (t = 011, 101, 110) の場合の数G(m)を求めれば、それらの総和
　　G = Σ{m=0～10} G(m)
が求める場合の数である。

　　G(m) =Σ{j=0～m} (m+1-j)(j+1) = (m+1)×1+ m×2+(m-1)×3+…+1×(m+1)
だから

　　G = Σ{m=0～10}Σ{j=0～m} (m+1-j)(j+1)
　　 = Σ{m=0～10} (m+1)Σ{j=0～m} (j+1)
　　 = Σ{m=0～10} (10-m+1) ((m+2)(m+1))/2
うーむ、これはExcel使っちゃえ、で G=1001通り。違うかな？

お礼

ありがとうございます。No3の方と答えが違ってるのが気になります。

回答No.3

nag0720

１問目の正答者１０名のうち、２問目の正解者がn名、３問目の正解者がm名であるとすると、
１問目の正答者１０名の得点の組み合わせの数は、
n+1,m+1,11-n,11-mの中の最小値になります。
また、１問目の誤答者２０名の得点の組み合わせの数は、
11-n,11-mの中の最小値になります。
よってこのときの、３０名の得点の組み合わせの数は、
MIN(n+1,m+1,11-n,11-m)×MIN(11-n,11-m)
となります。（MINは最小値を返す関数）

0≦n≦10、0≦m≦10ですべて計算して合計すれば、1296通りになるはずです。
表を作ってみれば分かりやすいでしょう。

お礼

どうもありがとうございました。やはり簡単な計算法は無いのですね（こんなの簡単なのかもしれませんが）。
私の頭ではNo.5の方の解法と優劣が分りませんので、大変申し訳ありませんが引き分けとさせて下さい。

回答No.2

Tacosan

1問ずつ考えれば (簡単じゃないけど) 確実にわかる.

1番～3番が順に 1点, 2点, 4点として
・1番だけ考える: 「10人正解」なので 30人中 10人が 1点で 20人が 0点.
・2番も考える: 1番を正解した 10人のうち 2番を正解したのは 0人～10人の 11通り.
・さらに 3番: 2番までの点数や人数の組み合わせから考える (＜面倒なので方針だけ).

いちおう「やればできる」ことは間違いない.

お礼

ありがとうございます。理屈はそうなんですが、面倒なんですよね、、。

回答No.1

ferien

>30人の生徒が全3問からなる試験をうけた。各問題を正解するとそれぞれ1点、2点、4点が与えられ、正>解でない場合は、0点である。
>　試験の結果、どの問題についても正解者が10人であったとき、受験者の得点30個の組としてかんがえ
>られるものは、何通りあるか。ただし、順番を並べ替えただけの組は同じものとみなす。

>　試験の結果、どの問題についても正解者が10人であったとき　は、
どの問題にも正解者がいたことを表していると考え、
>受験者の得点30個の組としてかんがえられるものは、何通りあるか。
について考えました。

３問の問題をＡ，Ｂ，Ｃとし、全問正解は（Ａ，Ｂ，Ｃ）と表し、不正解は０としました。
組み合わせは、
（Ａ，Ｂ，Ｃ）７点　
（Ａ，Ｂ，０）３点
（Ａ，０，Ｃ）５点
（Ａ，０，０）１点
（０，Ｂ，Ｃ）６点
（０，Ｂ，０）２点
（０，０，Ｃ）４点
（０，０，０）０点　　の　８通り

３０人や１０人は、関係ないと思って考えましたが、どうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。得点分布で１０人正解ずつの条件が使えてないので、これは残念ながら違うと思います。