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積分を含んだ微分方程式が解けません(>_<)
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こんばんは。 左辺が 0 → ∞ の定積分ということですので、 これは定数 C とおいてよいことになります。 (1) ∫ [0→∞] x dx = C です。結局この問題は (2) (t^2) (dx/dt) - 2t x = 4C という単純な1階微分方程式の問題に帰着できます。 まずは斉次方程式を変数分離して解きます。 (3) (t^2) (dx/dt) - 2t x = 0 ⇔ (1/x) (dx/dt) = (2/t) ⇔ ∫ (1/x) dx = 2 ∫ (1/t) dt ⇔ ln(x) = 2 ln(t) + c ⇔ x = A t^2 ここで A が t の関数 A(t) であるとすれば、 これを(2)式に代入して (4) (t^2) { (dA/dt) t^2 + A (2t) } - 2t (A t^2) = 4C ⇔ (dA/dt) = 4C t^(-4) ⇔ A = -(4C/3) t^(-3) + B ただし B は定数です。これを(3)式の解に代入すれば (5) x = { -(4C/3) t^(-3) + B } t^2 = -(4C / 3t) + B t^2 となります。 さて、この x は t → ∞ の極限で 0 になるわけですから、 t の 2次の項は明らかに 0 でないとダメです。 すなわち B = 0 ですから、結局 (6) x = -(4C / 3t) がこの微分方程式の解となります。 ちなみにこの関数は x → +0 で -∞ に発散しますから、 0 → ∞ の広義積分 C の値を決めることは出来ません。 この積分が収束するのは C = 0 すなわち x = 0 の時だけです。
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- Tacosan
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定積分は定数だ.
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