物理 逆格子

質問

逆格子についての質問です。 実格子a,逆格子Aとすると a・A＝2πとなる理由がわかりません。 A=2πb×c/Vという定義を使えば成り立つことが分かるのですが、立体的に理解ができません。
よろしくお願いします。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

こんにちは。

>実格子a,逆格子Aとすると a・A＝2πとなる理由

それが、通常、以下に述べる逆格子の定義の一部分なんですが。。

格子を張るベクトル a, b, c　は一般には直交していませんよね。
この場合任意のベクトルx を

x = x1*a + x2*b + x3*c

としたとき、その係数を、xと a,b,c の内積で求めることができません。
そこで新たな３組のベクトル A, B, C　を持ってきて、

a*A = 2pi
b*B = 2pi
c*C = 2pi
A*b = A*c = 0　---(1)
B*a = B*c = 0 ---(2)
C*a = C*b = 0 ---(3)

を満たすようにすれば、例えば

x1 = x*A/2pi

等で内積で求まり便利なわけですね。

後は実際にA,B,Cを求めればいいわけです。
(1) より　A　はb,cに直交していますから、

A = k(b×c)

と書けるわけです。

a*A =ka*(b×c)=2pi

ですから、

k = 2pi/(a*(b×c))

となります。今a,b,cが右手系をなしているとすると、(a*(b×c))は格子の単位胞の体積ですから（これは外積の図形的定義と内積の図形的定義を理解していて、直方体の体積が、底面積×高さというのを理解していれば容易に分かります。）、

A = 2pi(b×c)/V

となるわけです。B, Cも同様に

B = 2pi(c×a)/V, C = 2pi(a×b)/V

となります。この式を逆格子の基本ベクトルと定義する場合もあります。

回答No.3

hitokotonusi

なぜ2πが出てくるかというご質問だと思いますが、これは定義だからとしかいいようがないですね。

回折がおこる条件は散乱ベクトルをΔk、格子点どおしをむすんだベクトルをrとして

exp(iΔk・r) = 1
r = pa + qb + rc (a,b,cは格子ベクトル、p,q,rは整数)

が成り立つことです、この条件を満足するときにはΔk・rは2πの整数倍になっている必要があります。この回折条件を逆格子ベクトルをGとして書くと

Δk = G (ラウエの条件)

なので、内積をとったときに2πが出てくるように逆格子Gの定義に2πを入れておきます。

分野によってはa・A = 1の定義を使うこともありますが、その場合には2πをあらわに外に出して回折条件を

exp(2πiΔk・r) = 1

とし、波数の定義も2πがない1/λを使います。

回答No.2

metzner

No1です。　訂正しておきます。

上で「直方体」を一般的に「平行六面体」としてください。
a,b,cで張られる平行六面体の体積は

a*(b×c)

です。